12. Решение задач

Тема урока

Данный урок поможет при самостоятельном изучении темы «Решение задач».

Задача 1

Через вершину прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника проведена прямая , перпендикулярная к его плоскости. , .

Найдите:

1) Расстояние от точки до прямой .

2) Углы наклона прямых и к плоскости , где точка – середина отрезка .

3) Расстояние от точки до плоскости .

4) Угол наклона прямой к плоскости .

Дано: , , , , , .

1) Найти: .

В задаче требуется найти расстояние от точки до прямой . Докажем, что это расстояние есть отрезок , где середина .

Треугольник – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана является и высотой.

– перпендикуляр к плоскости , –наклонная, - ее проекция на плоскость . Так как проекция перпендикулярна , то и наклонная перпендикулярна (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, и является расстоянием от точки до прямой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Найдем .

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник и найдем из него отрезок по теореме Пифагора.

.

Ответ: 6 см.

2) Найти: , .

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. - проекция наклонной на плоскость . Значит, .

Тогда из прямоугольного треугольника имеем:

Значит, .

- проекция наклонной на плоскость . Значит, . Из прямоугольного треугольника имеем:

Значит, .

Ответ: , .

3) Найти: .

Нужно построить перпендикуляр к плоскости , который проходит через точку , и найти длину этого перпендикуляра.

Проведем прямую перпендикулярно прямой (рис. 2). Прямая перпендикулярна прямой , потому что перпендикуляр плоскости . Имеем, прямая   перпендикуляра двум пересекающимся прямым и плоскости . Значит, – перпендикуляр к плоскости , а значит, и есть искомое расстояние: .

Прямые и параллельны, так как они перпендикулярны одной и то же прямой . – середина отрезка . Параллельные прямые и отсекают на стороне угла равные отрезки и , а значит, и на стороне , то есть . Значит, – средняя линия треугольника . Значит, по ее свойствам, .

Ответ: 2 см.

4) Найти: .

Прямая перпендикулярна плоскости . Значит, – это проекция наклонной на плоскость . Тогда угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией , то есть угол .

Треугольник прямоугольный, так как перпендикуляр к плоскости , а значит, и к прямой , лежащей в этой плоскости.

.

Ответ: .

Задача 2

В кубе найдите тангенс угла между прямой и плоскостью .

Решение:

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть точка – точка пересечения прямых и , а точка – точка пересечения прямых и . Заметим, что , прямые , , перпендикулярны плоскости основания .

Первый способ.

Прямая перпендикулярна плоскости основания и параллельна прямой . Найдем угол между прямой и плоскостью .

Заметим, что прямая перпендикулярна , так как прямая лежит в плоскости .

Проведем из точки перпендикуляр к плоскости . Тогда – наклонная, а – проекция наклонной на плоскость . Так как наклонная перпендикулярна прямой из плоскости , то и ее проекция также перпендикулярна .

Прямая перпендикулярна прямой , но через точку проходит прямая , перпендикулярная прямой . Значит, прямые и совпадают. То есть, точка лежит на прямой .

Имеем,   - перпендикуляр к плоскости . – наклонная, а – проекция наклонной на плоскость . Тогда, угол между прямой и плоскостью –это угол между прямой и ее проекцией , то есть угол или .

Рассмотрим прямоугольный треугольник (). Пусть ребро куба равно . Тогда:

.

Второй способ.

Рассмотрим прямую и найдем угол между прямой и плоскостью . Заметим, что точка равноудалена от точек , , , так как ; ; .

Мы знаем, что если точка равноудалена от вершин треугольника, то она проектируется в центр описанной окружности, а центр описанной окружности в треугольнике лежит на серединных перпендикулярах. Пусть - центр описанной окружности около треугольника . Тогда точка проектируется в точку . Точка лежит на прямой . Получаем, что перпендикуляр к плоскости , а значит, – это проекция на плоскость . Получаем, угол или и есть угол между прямой и плоскостью . Рассмотрим прямоугольный треугольник . Тогда:

.

Ответ: .

Задача 3 (опорная задача)

Дано: Наклонная , .

Построить: Проекцию точки на плоскость .

Построение:

Так как наклонная перпендикулярна прямой из плоскости, то эта прямая из плоскости перпендикулярна и проекции наклонной.

Проведем прямую перпендикулярно прямой в плоскости . Таким образом, мы получим проекцию всей прямой на плоскость .

Проведем прямую перпендикулярно прямой и таким образом получим искомую точку . 

Задача 4

В кубе с ребром 1 найти расстояние от центра грани до плоскости .

Решение:

– центр грани (рис. 5).

Пусть – середина отрезка , тогда прямые , , являются перпендикулярами к грани . Прямые , , - параллельны. Заметим, что прямая перпендикулярна .

С точки опустим перпендикуляр на плоскость . – и есть искомое расстояние. Так как наклонная перпендикулярна прямой из плоскости , то и ее проекция перпендикулярна .

Треугольник – это правильный треугольник. Каждая его сторона – это диагональ квадрата, т.е. равна . Значит, так как – медиана правильного треугольника, то является и высотой. То есть прямая перпендикулярна прямой .

Получаем, что через точку проходят две прямые и , перпендикулярные прямой . Значит, прямые и – совпадают, то есть точка лежит на прямой . 

Рассмотрим треугольник (рис. 6).

. – это половина диагонали квадрата со стороной 1. Значит, .

Найдем площадь треугольника :

.

С другой стороны, площадь треугольника равна:

.

Значит, .

.

Ответ: .

Итоги урока

Итак, мы решили серию задач на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью.

На следующем уроке мы познакомимся с новой геометрической фигурой – двугранным углом.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎ege-study.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «‎bankege.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 9, 10, 11 стр. 62

2. Точка находится на расстоянии 4 см от каждой из вершин правильного треугольника , сторона которого равна 6 см. Найдите расстояние от точки до плоскости .

3. Из точки к плоскости α проведены перпендикуляр и наклонные и , , , проекции наклонных на плоскость относятся как . Найдите расстояние от точки до плоскости .

4. Точка равноудалена от сторон квадрата и находится на расстоянии  см от плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки до стороны квадрата, если сторона квадрата равна 4 см.