12. Сравнение длин. Задачи на плоскости

Определение прямой, перпендикулярной плоскости

Часто в плоскости сечения надо найти месторасположение точек, которые определяют сечение. Определение месторасположения точек – умение сравнивать длины. Для этого важного класса задач, для задач сравнения длин есть метод «параллельных прямых» или «теорема Менелая – Чевы». Рассмотрим метод «параллельных прямых». Опорным фактом для данного метода является «обобщенная теорема Фалеса».

Если мы имеем две пересекающиеся прямые  и , и они рассекаются параллельными прямыми, то соответствующие отрезки пропорциональны (рис. 1).

Теорема Фалеса

Теорема: Параллельные прямые рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Обозначим длины отрезков , ,  и т.д. , ,  и т. д.

относится к  так же, как  к  и т. д., как и любые их комбинации – это и будет «обобщённой теоремой Фалеса» (рис. 2).

Определим, откуда взялось отношение на примере первых двух отрезков. Известно, что ввиду параллельности прямых первый треугольник подобен второму. Значит, коэффициент подобия таков: большая сторона к меньшей стороне (сходственные стороны).

Другая пара сходственных сторон: это сторона второго треугольника к первому .

Из подобия треугольников:

Получаем:

И наконец:

У пропорции можно поменять крайние члены, в результате получится:

Это наш основной опорный факт – «теорема Фалеса».

Данная теорема помогает в решении задач, а именно: если нам известны пропорции и отношение на одной стороне угла, то можно их перенести на вторую сторону угла, надо только удачно провести соответствующую параллельную прямую.

Решение типовой задачи

Задача 1

Дан произвольный треугольник . Дано отношение: . Точка рассекает отрезок в отношении . В этом произвольном треугольнике дано месторасположение отрезка . на отрезке взята точка . Месторасположение точки дано, а именно: . То есть, в этом произвольном треугольнике положение точки фиксированно. Значит, будет фиксированно и положение отрезка – найти . рассекает плоскость треугольника на две площади. Надо найти отношение этих двух площадей:  (рис. 3).

Решение

Введем переменные для облегчения счета:

Рассечем искомый отрезок параллельными прямыми (одна прямая уже есть, это прямая ). Вторая прямая – , которая будет параллельна ().

Рассмотрим стороны углов, которые рассекаются параллельными прямыми, и перенесем по теореме Фалеса известные отношения с одной стороны угла на другую. Стороны угла рассекаются параллельными прямыми на пропорциональные части: длина отрезка , значит, длина отрезка .

Стороны угла тоже рассекаются параллельными прямыми на пропорциональные части. Не забываем связь , мы констатируем существование многих чисел, но если между ними есть связь, то её нельзя упустить.

Следующее действие: нам требуется найти , но между ними явная связь:

Отсюда получаем:

Ответ на первую задачу:  – мы нашли, в каком отношении прямая рассекает сторону .

Треугольники имеют основания, которые лежат на одной и той же прямой, поэтому рассмотрим высоту к ним, опущенную из точки , и назовём её для краткости  (рис. 4).

, так как треугольники имеют основания, которые лежат на одной и той же прямой и одинаковые высоты. Отсюда:

Ответ: ; .

Решение задачи по доказательству свойств медиан

Задача 2

Треугольник и медиана . Дано: , то есть, если , значит, отрезок  является медианой для данного произвольного треугольника. Медиана  рассекается другой медианой . Точка  тоже задана своим отношением: . Необходимо найти, в каком отношении первая медиана рассекается второй медианой, то есть отношение  (рис. 5).

Решение

Искомый отрезок – это медиана , её надо рассечь параллельными прямыми. Одной прямой она уже рассечена, следовательно, надо провести прямую  параллельно прямой .

Далее следует рассмотрение углов с известными пропорциями и перенесение их на другие стороны угла. Так как есть медиана, обозначим стандартно всю сторону за , тогда (рис. 6):

Мы рассмотрели стороны первого угла и нашли соответствующие отношения. Должно сработать и второе отношение, рассмотрим стороны другого угла и выясним:

Отсюда следует, что отрезок в два раза больше отрезка .

Мы получили известный факт: точка пересечения медиан рассекает каждую из них в отношении 2 к 1, считая от вершины. Если вся медиана  обозначена за , то , .

Ответ: .

Выводы

Был рассмотрен метод параллельных прямых для сравнения длин на плоскости сечения. Метод заключается в том, чтобы рассечь искомый отрезок параллельными прямыми и воспользоваться «теоремой Фалеса».

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Когда применяется теорема Фалеса?

2. Возможно ли использовать теорему Фалеса в параллелограмме, ведь его стороны параллельны?

3. Имеют ли что-то общее «метод параллельных прямых» и «теорема Фалеса»?

4. Если угол рассекают параллельные плоскости, то можно ли говорить о подобии треугольников образованных этими прямыми и сторонами угла?

5. Если, используя теорему Фалеса, мы получили отношение отрезков между двумя параллельными прямыми, равное единице, то что можно сказать об углах при одной из параллельных прямых?