13. Сравнение длин. Задачи в пространстве

Задачи на сравнение длин отрезков

Задача 1

В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной на ребрах и взяты точки и соответственно, причем  и . Найти отношение, в котором делится ребро , плоскостью, проведенной через точки , , (рис. 1).

Решение

Найдем точку , как точку пересечения прямой и высоты .

Так как точки и лежат и в плоскости диагонального сечения (), и в плоскости сечения (), то проведем прямую до пересечения с ребром и получим точку .

Рассмотрим треугольник более детально (рис. 2):

Проведем из точки прямую , а из точки прямую , параллельные .

Угол  рассекается параллельными прямыми, значит, если  (это следует из того, что пирамида правильная), то и .

Угол  рассекается параллельными прямыми, значит, если , то и .

Так как точка – середина , то , значит .

Угол  рассекается параллельными прямыми, значит, .

Рассмотрим треугольник более детально (рис. 3):

Проведем из точки прямую , параллельную .

Угол  рассекается параллельными прямыми, значит, если  (это следует из того, что пирамида правильная), то и .

Угол  рассекается параллельными прямыми, значит, если , то и .

Из найденных равенств следует, что . Отсюда следует, что .

Ответ: .

Выводы

Была рассмотрена сложная задача по определению отношения, в котором ребро пирамиды рассекается плоскостью.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Можно ли применить теорему Фалеса в пространстве?

2. Имеет ли смысл рассекать угол непараллельными прямыми для нахождения отношения отрезков, полученных при данном рассечении?

3. Возможно ли использовать теорему Фалеса в параллелограмме, ведь его стороны параллельны?

4. Если угол рассекают параллельные плоскости, то можно ли говорить о подобии треугольников образованных этими прямыми и сторонами угла?

5. Если, используя теорему Фалеса, мы получили отношение отрезков между двумя параллельными прямыми равное единице, то равны ли попарно углы при каждой из параллельных прямых?