10. Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости α и β и плоскость γ, которая пересекает плоскости α и β по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и α, и β, что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Свойство 2

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости α и β и параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и СD равны.

Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ, γ = АВDС. Плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и ВD параллельны.

Прямые АВ и СD также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВDС – параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

Свойство 3

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости α и β, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что

Параллельные плоскости α и β рассечены плоскостью угла А. Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости α – ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости β – В1С1. По первому свойству, линии пересечения ВС и В1С1 параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ1С1 подобны. Получаем:

Свойство доказано.

Решение задач

Задача 1.

Параллельные плоскости α и β пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В1 и В2 (Рис. 4.).

Найдите:

а) и, если см, см.

б) и, еслисм. см,

Решение:

а) Пусть, тогда по условию длинасм., следовательно, k =6 см. Тогда отрезок , т.е. см.

Две параллельные плоскости α и β рассечены плоскостью угла ВАС. Из первого свойства следует, что прямые А1В1 и А2В2 параллельны. Значит, треугольники АА2В2 и АА1В1 подобны по двум углам (угол ВАС общий, углы АА1В1 и АА2В2 равны). Из подобия имеем:

см.

Ответ: АА2 = 18 см, АВ2 = 15 см.

б) Пусть А1А2 = k, тогда длина отрезка, по условию. Длина отрезка АА2 состоит из длин двух отрезков: АА2=АА1+ А1А2, т.е. получаем уравнение относительно к:

Значит,см.

Из подобия треугольников АА2В2 и АА1В1 следует, что

см.

Ответ: А2В2 = 54 см, АА2 = 72 см.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели свойства параллельных плоскостей и использовали при решении некоторых задач.

На следующем уроке мы рассмотрим тетраэдр.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎urok.1sept.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «‎hystory-for-vki.narod.ru» (Источник).

3. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Точка О – общая середина каждого из отрезков АА1, ВВ1, СС1, которые не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости АВС и А1В1С1 параллельны.

2. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

3. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и вторую.

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 6, 8, 9 стр. 29