01. Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых
02. Параллельность прямой и плоскости
03. Повторение теории. Решение простейших задач на параллельность прямой и плоскости
04. Повторение теории. Решение типовых задач на параллельность прямой и плоскости
05. Повторение теории. Решение более сложных задач на параллельность прямой и плоскости
06. Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой
07. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми
08. Повторение теории, решение задач по теме
09. Параллельные плоскости
10. Свойства параллельных плоскостей
11. Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре
12. Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда
13. Задачи на тетраэдр
14. Задачи на построение сечений в параллелепипеде
15. Повторение теории. Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»
16. Повторение теории. Решение более сложных задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»
10. Свойства параллельных плоскостей
Видео доступно по абонементу
Свойство 1
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Доказательство
Пусть даны параллельные плоскости α и β и плоскость γ, которая пересекает плоскости α и β по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).
Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.
Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и α, и β, что невозможно, так как они параллельны по условию.
Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.
Свойство 2
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Доказательство
Пусть даны параллельные плоскости α и β и параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и СD равны.
Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ, γ = АВDС. Плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и ВD параллельны.
Прямые АВ и СD также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВDС – параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.
Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и СD равны, что и требовалось доказать.
Свойство 3
Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.
Доказательство
Пусть нам даны параллельные плоскости α и β, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что
Параллельные плоскости α и β рассечены плоскостью угла А. Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости α – ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости β – В1С1. По первому свойству, линии пересечения ВС и В1С1 параллельны.
Значит, треугольники АВС и АВ1С1 подобны. Получаем:
Свойство доказано.
Решение задач
Задача 1.
Параллельные плоскости α и β пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В1 и В2 (Рис. 4.).
Найдите:
а) и, если см, см.
б) и, еслисм. см,
Решение:
а) Пусть, тогда по условию длинасм., следовательно, k =6 см. Тогда отрезок , т.е. см.
Две параллельные плоскости α и β рассечены плоскостью угла ВАС. Из первого свойства следует, что прямые А1В1 и А2В2 параллельны. Значит, треугольники АА2В2 и АА1В1 подобны по двум углам (угол ВАС общий, углы АА1В1 и АА2В2 равны). Из подобия имеем:
см.
Ответ: АА2 = 18 см, АВ2 = 15 см.
б) Пусть А1А2 = k, тогда длина отрезка, по условию. Длина отрезка АА2 состоит из длин двух отрезков: АА2=АА1+ А1А2, т.е. получаем уравнение относительно к:
Значит,см.
Из подобия треугольников АА2В2 и АА1В1 следует, что
см.
Ответ: А2В2 = 54 см, АА2 = 72 см.
Итоги урока
Итак, мы рассмотрели свойства параллельных плоскостей и использовали при решении некоторых задач.
На следующем уроке мы рассмотрим тетраэдр.
Список рекомендованной литературы
Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).
Интернет-портал «hystory-for-vki.narod.ru» (Источник).
Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. Точка О – общая середина каждого из отрезков АА1, ВВ1, СС1, которые не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости АВС и А1В1С1 параллельны.
2. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.
3. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и вторую.
4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Задания 6, 8, 9 стр. 29
"