03. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Тема урока

На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости.

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости. Вспомогательное утверждение

Утверждение

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая и точка . Докажем, что существует плоскость , которая проходит через точку и которая перпендикулярна прямой .

Через прямую проведем плоскости и так, что точка принадлежит плоскости . Плоскости и пересекаются по прямой . В плоскости через точку проведем перпендикуляр (или ) к прямой , . В плоскости из точки восстановим перпендикуляр к прямой . Прямые и пересекаются, пусть через них проходит плоскость . Получаем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости . Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости .

Теорема

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Доказательство.

Пусть дана плоскость и точка (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку проходит единственная прямая , перпендикулярная плоскости .

Проведем прямую в плоскости (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку можно провести плоскость перпендикулярную прямой . Пусть прямая – линия пересечения плоскостей и .

В плоскости через точку проведем прямую , перпендикулярную прямой .

Прямая перпендикулярна по построению, прямая с перпендикулярна (так как прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой , лежащей в плоскости ). Получаем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости . Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости . Докажем, что такая прямая единственная.

Предположим, что существует прямая , проходящая через точку и перпендикулярная плоскости . Получаем, что прямые и перпендикулярны плоскости . Значит, прямые и параллельны. Но по построению прямые и пересекаются в точке . Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку и перпендикулярная плоскости , что и требовалось доказать.

Задача 1

Докажите, что если две плоскости и перпендикулярны к прямой , то они параллельны.

Доказательство:

Проведем прямую параллельно прямой . По лемме, если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает плоскость. Прямая пересекает плоскости и по условию. Значит прямая пересекает плоскость в некоторой точке и плоскость в точке .

Прямая перпендикулярна плоскостям и , а значит и параллельная ей прямая перпендикулярна плоскостям и .

Предположим, что плоскости и пересекаются. Точка – общая точка плоскостей и . Но тогда в треугольнике угол равен и угол равен , что невозможно. Значит, предположение о том, что плоскости и пересекаются было неверным. Значит, плоскости и параллельны.

Задача 2

Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Доказательство:

Пусть дана прямая и точка . Согласно утверждению, существует плоскость , проходящая через точку , перпендикулярная прямой . Докажем ее единственность.

Предположим, что существует плоскость , проходящая через точку , перпендикулярная прямой . Две плоскости и перпендикулярны одной и той же прямой , а значит, плоскости и параллельны (как мы доказали в задаче 1). Но точка принадлежит и плоскости и . Получили противоречие. Значит, через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой , что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы доказали теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. На следующем уроке мы рассмотрим решение задач с такими прямыми.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 15, 16, 17 стр. 58

2. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна лежащим в этой плоскости:

а) двум сторонам треугольника

б) двум сторонам трапеции

в) двум диаметрам круга.

3. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.

4. Прямые , , лежат в плоскости . Прямая перпендикулярна прямым и , но не перпендикулярна . Каково взаимное расположение прямых и ?