07. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Определение сонаправленных лучей

Любая прямая, например ОО₁ (Рис. 1.), рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О₁А₁ параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О₂А₂ и ОА не являются сонаправленными (Рис. 1.). Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости.

Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов сонаправленны, то такие углы равны.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О₁А₁ и параллельные лучи ОВ и О₁В₁ (Рис. 2.). То есть, мы имеем два угла АОВ и А₁О₁В₁, чьи стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти углы равны.

На стороне луча ОА и О₁А₁ выберем точки А и А₁ так, чтобы отрезки ОА и О₁А₁ были равны. Аналогично, точки В и В₁ выберем так, чтобы отрезки ОВ и О₁В₁ были равны.

Рассмотрим четырехугольник А₁О₁ОА (Рис. 3.). В этом четырехугольники стороны ОА и О₁А₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А₁О₁ОА является параллелограммом. Так как А₁О₁ОА – параллелограмм, то стороны ОО1 и АА₁ параллельны и равны.

Рассмотрим четырехугольник В₁О₁ОВ. В этом четырехугольники стороны ОВ и О₁В₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В₁О₁ОВ является параллелограммом. Так как В₁О₁ОВ – параллелограмм, то стороны ОО₁ и ВВ₁ параллельны и равны.

И прямая АА₁ параллельна прямой ОО₁, и прямая ВВ₁ параллельна прямой ОО₁, значит прямые АА₁ и ВВ₁ параллельны.

Рассмотрим четырехугольник В₁А₁АВ. В этом четырехугольники стороны АА₁ и ВВ₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В₁А₁АВ является параллелограммом. Так как В₁А₁АВ – параллелограмм, то стороны АВ и А₁В₁ параллельны и равны.

Рассмотрим треугольники АОВ и А₁О₁В₁. Стороны ОА и О₁А₁равны по построению. Стороны ОВ и О₁В₁ также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А₁В₁ тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А₁О₁В₁ равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А₁О₁В₁ равны, что и требовалось доказать.

Угол между пересекающимися прямыми

1) Пересекающиеся прямые.

Если прямые пересекающиеся, то мы имеем четыре разных угла. Углом между двумя прямыми, называется наименьший из углов между двумя прямыми. Угол между пересекающимися прямыми а и b обозначим α (Рис. 4.). Угол α такой, что 0 < α ⩽ 90.

Угол между скрещивающимися прямыми

2) Скрещивающиеся прямые

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а₁, параллельную прямой а, и прямую b₁, параллельную прямой b (Рис. 5.). Прямые а₁ и b₁ пересекаются в точке О. Угол между двумя пересекающимися прямыми а₁ и b₁ , угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.

Зависит ли величина угла от выбранной точки О? Выберем точку О₁. Через точку О₁ проведем прямую а₂, параллельную прямой а, и прямую b₂, параллельную прямой b (Рис. 6.). Угол между пересекающимися прямыми а₂ и b₂ обозначим φ₁. Тогда углы φ и φ₁ - углы с сонаправленными сторонами. Как мы доказали, такие углы равны между собой. Значит, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О.

Задача 1. Найти угол между двумя прямыми

Прямые ОВ и СD параллельны, ОА и СD скрещиваются. Найдите угол между прямыми ОА и СD, если: 

1) ∠АОВ = 40°.

Выберем точку С. Через нее проходи прямая СD. Проведем СА₁ параллельно ОА (Рис. 7.). Тогда угол А₁СD – угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD. По теореме об углах с сонаправленными сторонами, угол А₁СD равен углу АОВ, то есть 40°.

2) ∠АОВ = 135°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 8.). Тогда угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD равен 45°, так как он наименьший из углов, которые получаются при пересечении прямых СD и СА₁.

3) ∠АОВ = 90°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 9.). Тогда все углы, которые получаются при пересечении прямых СD и СА₁ равны 90°. Искомый угол равен 90°.

Задача 2

1) Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Доказательство

Пусть нам дан пространственный четырехугольник ABCD. M, N, K, L – середины ребер BD, AD, AC, BC соответственно (Рис. 10.). Нужно доказать, что MNKL – параллелограмм.

Рассмотрим треугольник АВD. МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ и равняется ее половине.

Рассмотрим треугольник АВС. LК – средняя линия. По свойству средней линии, LК параллельна АВ и равняется ее половине.

И МN, и LК параллельны АВ. Значит, МN параллельна LК по теореме о трех параллельных прямых.

Получаем, что в четырехугольнике MNKL – стороны МN и LК параллельны и равны, так как МN и LК равны половине АВ. Значит, по признаку параллелограмма, четырехугольник MNKL – параллелограмм, что и требовалось доказать.

2) Найдите угол между прямыми АВ и СD, если угол МNК = 135°.

Как мы уже доказали, МN параллельна прямой АВ. NК – средняя линия треугольника АСD, по свойству, NК параллельна DС. Значит, через точку N проходят две прямые МN и NК, которые параллельны скрещивающимся прямым АВ и DС соответственно. Значит, угол между прямыми МN и NК является углом между скрещивающимися прямыми АВ и DС. Нам дан тупой угол МNК = 135°. Угол между прямыми МN и NК – наименьший из углов, полученных при пересечении этих прямых, то есть 45°.

Итоги урока по теме Угол между двумя прямыми

Итак, мы рассмотрели углы с сонаправленными сторонами и доказали их равенство. Рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми и решили несколько задач на нахождение угла между двумя прямыми. На следующем уроке мы продолжим решение задач и повторение теории. 

Список рекомендованной литературы по теме \"Угол с сонаправленными сторонами\", \"Угол между двумя прямыми\"

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованное домашнее задание по теме \"Угол с сонаправленными сторонами\" и как найти угол между двумя прямыми

1. Какие лучи называются сонаправленными?

2. Что такое угол между пересекающимися прямыми? Что такое угол между скрещивающимися прямыми?

3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (см. Рис. 11.). Найдите угол между прямыми:

а) AB и BC.

б) AB и A₁D₁.

в) BC и D₁В₁.

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 54