08. Угол между прямой и плоскостью

Введение

Наверняка вы слышали такое выражение: «Солнечный луч падает под углом…». (См. Рис. 1.)

По сути, здесь идет речь об угле между прямой, частью которой является луч, и «плоскостью» земной поверхности (хотя она, конечно, не совсем плоская).

Мы привыкли, что угол бывает между двумя лучами (см. Рис. 2) или прямыми (см. Рис. 3).

Как же определить угол между прямой и плоскостью?

Определение

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно опустить из любых двух ее точек перпендикуляры на плоскость (спроектировать эти точки), после чего провести через них прямую – это и будет проекция (см. Рис. 4).

Так, проекции всех точек данной прямой будут лежать на одной прямой.

Доказательство

Пусть  – точка пересечения прямой  и плоскости ,  и  – точки на прямой ,  и  – их проекции на плоскость . Докажем, что ,  и  лежат на одной прямой . (См. Рис. 5.)

Заметим, что , так как , . Значит если рассмотреть плоскость , то точки  и  будут принадлежать ей. Но плоскость  пересекает исходную плоскость по некоторой прямой. (См. Рис. 6.)

Значит раз точки ,  и  принадлежат обеим плоскостям, то они лежат на этой прямой, что и требовалось доказать.

То есть мы свели новое определение к углу между прямыми, который мы уже знаем.

Обратите внимание на частую ошибку, которую допускают ученики. Углом между прямой и плоскостью называется угол именно между прямой и ее проекцией, а не между прямой и любой прямой в плоскости. Потому как такие углы могут быть разными.

Пример (куб)

Рассмотрим куб .

Решение

А) Найдите угол между прямой  и плоскостью . (См. Рис. 7.)

Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки  – точка , т. к. боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания. (См. Рис. 8.)

, следовательно, точка  – проекция точки  на плоскость .

Значит, искомый угол – это угол  (см. Рис. 9), а он равен , так как это угол между диагональю и стороной квадрата.

Обратите внимание, что если взять вместо  другую прямую из плоскости основания, например , то угол будет другим – в данном случае , так как треугольник  равносторонний (все стороны – диагонали граней). (См. Рис. 10.)

Так что угол между прямой и плоскостью – это совсем не угол между прямой и любой прямой в плоскости.

Б) Чему равен угол между  и ? (См. Рис. 11.)

Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки  – точка , т. к. боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания (см. Рис. 12).

, следовательно, точка  – проекция точки  на плоскость .

Значит, искомый угол –  (см. Рис. 13).

Его можно найти из треугольника  (см. Рис. 14).

Треугольник прямоугольный, т. к. , , значит,  (см. Рис. 15).

Если взять сторону куба за , тогда ,  и .

Ответ: , .

Свойство угла между прямой и плоскостью

Вспомните, что расстояние от точки до плоскости – это кратчайший из отрезков, соединяющий исходную точку с точкой плоскости. Подобное верно и для угла: угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов между прямой и произвольной прямой в плоскости.

Доказательство

Пусть прямая  пересекает плоскость  в точке ,  – проекция  на плоскость, а  – произвольная прямая в плоскости, проходящая через . Пусть также  – перпендикуляр на прямую . (См. Рис. 16.)

Тогда несложно видеть, что ; а . Так как  – кратчайшее расстояние от точки  до плоскости, то , а значит, .

Пример (пирамида)

Найдите угол между боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и ее основанием, если все ее ребра равны . (См. Рис. 17.)

Решение

Пусть  – центр основания пирамиды . Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки  – точка , т. к. вершина правильной пирамиды проектируется в центр основания. Тогда искомый угол – . (См. Рис. 18.)

 ( – половина диагонали квадрата ), . Значит, , то есть искомый угол .

Ответ: .

Пример

В правильной четырехугольной пирамиде  все ребра равны . Найти угол между прямой  и плоскостью . (См. Рис. 19.)

Решение

Сперва заметим, что, если параллельно перенести прямую , искомый угол не поменяется. Рассмотрим  и  – середины  и  соответственно. Тогда можно вместо  искать угол между  и плоскостью. (См. Рис. 20.)

Далее, заметим, что  – проекция точки  – попадет на . Действительно, по теореме о трех перпендикулярах, раз  и , то  есть проекция . А тогда искомый угол – (см. Рис. 21.)

Рассмотрим треугольник . , . Тогда если  – середина , то  и значит, . (См. Рис. 22.)

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы познакомились с таким понятием, как угол между прямой и плоскостью. Выяснили, что этот угол определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Также выяснили, что не стоит путать угол между прямой и ее проекцией с углом между прямой и произвольной прямой данной плоскости. Узнали, что угол между прямой и проекцией является наименьшим из углов между прямой и произвольной прямой в плоскости. Решили несколько задач, где наглядно продемонстрировали использование введенного определения.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. Погорелов А.В. Геометрия 10 класс. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014.

3. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь по геометрии 10 класс. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «resolventa.ru» (Источник).

2. Интернет-сайт «100ballov.kz» (Источник).

Домашнее задание

1. Длина отрезка  равна . Он пересекает плоскость в точке  . Расстояния от концов отрезка до плоскости соответственно равны   и . Найдите острый угол, который образует отрезок  с плоскостью.

2. Прямая , проведенная из точки  к данной плоскости, равна . Чему равна проекция этой прямой на плоскость, если угол между прямой  и данной плоскостью равен ?

3. Под углом  к плоскости  проведена прямая. Найдите , если известно, что проекция прямой вдвое меньше самой прямой.