11. Виды тетраэдров. Профильный уровень

Дополнительные элементы тетраэдра

Тетраэдр во многом является объёмным аналогом треугольника. В первую очередь потому, что он является минимальным многогранником, так же как треугольник — минимальным многоугольником. Вспомним, что под треугольником мы понимали замкнутую ломаную с минимально возможным количеством звеньев.

Для изучения и доказательства различных свойств многоугольников эти многоугольники разбивают на треугольники. С аналогичными целями многогранники разбивают на тетраэдры. 

Кроме того, сами тетраэдры могут быть моделями объектов в природе. Например, молекулы воды и метана имеют форму тетраэдра.

Для треугольников мы рассматривали различные частные случаи: равнобедренные, равносторонние, прямоугольные. Рассматривали различные свойства, например четыре замечательные точки треугольника.

Для тетраэдров мы тоже рассмотрим различные их свойства, а также интересные частные случаи.

Для треугольников мы формулировали определение вписанной окружности. Одним из важнейших свойств треугольника было то, что у каждого треугольника существует вписанная окружность, и притом только одна.

Если окружность вписана в угол, то её центр лежит на биссектрисе этого угла. По той причине, что центр окружности равноудалён от сторон угла, а биссектриса и есть множество всех точек, равноудалённых от сторон угла.

Теперь, если окружность вписана в треугольник, то она вписана в каждый его угол. Следовательно, центр этой окружности лежит на пересечении всех его биссектрис.

Для тетраэдров всё аналогично.

Теорема

Если провести плоскости, делящие двугранные углы тетраэдра пополам (назовём их биссектральными плоскостями), то они пересекутся в одной точке, и эта точка будет центром вписанной сферы.

То есть в любой тетраэдр можно вписать сферу, причём только одну.

Доказательство аналогично плоскому случаю.

Несложно доказать, что центр сферы, вписанной в двугранный угол, то есть касающейся обеих плоскостей, лежит на биссектральной плоскости.

Действительно, опустим из центра сферы перпендикуляры на плоскости угла. Они будут равны, как радиусы, проведённые в точки касания. Два получившихся прямоугольных треугольника  и будут равны по катету и гипотенузе: ,  — гипотенуза. А значит, равны и острые углы , которые являются линейными углами соответствующих двугранных углов. Тогда равны и эти двугранные углы. То есть центр вписанной в угол сферы принадлежит биссектральной плоскости этого угла .

Рассмотрим теперь тетраэдр. Проведём три биссектральные плоскости. Они пересекутся в точке  . Эта точка будет равноудалена от всех четырёх граней тетраэдра.

Следовательно, остальные биссектральные плоскости тоже пройдут через точку . Длины перпендикуляров, опущенных из точки  на все грани, будут равны радиусу вписанной сферы.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — в центре описанной окружности.

Аналогично плоскости, проходящие через середины рёбер тетраэдра и перпендикулярные этим рёбрам, пересекаются в одной точке — центре описанной сферы.

Докажите самостоятельно, что все точки, равноудалённые от концов ребра, принадлежат такой плоскости, и наоборот, все точки, принадлежащие такой плоскости, будут равноудалены от концов ребра.

Рассмотрим тетраэдр, в котором проведём три такие плоскости через середины рёбер с общей вершиной. Точка их пересечения равноудалена от всех четырёх вершин тетраэдра, то есть является центром описанной сферы.

Вокруг любого тетраэдра можно описать сферу, причём только одну.

Кроме вершин, граней и рёбер, у тетраэдра рассматривают ещё несколько элементов, как это было и у треугольников.

Нам уже знакомо понятие высоты. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой.

Высота тетраэдра является очевидным аналогом высоты треугольника. У тетраэдра четыре высоты.

Хочется получить и другой аналог — медиану. Для этого нужно соединить вершину с неким центром противоположной грани.

Вопрос: что считать таким центром?

Самым очевидным будет центроид — центр тяжести треугольника, который находится в точке пересечения медиан.

Итак, отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой.

У тетраэдра четыре медианы.

Если соединить середины двух противоположных рёбер тетраэдра, то мы получим аналог средней линии.

Мы знаем, что противоположные рёбра скрещиваются. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой.

У тетраэдра три бимедианы.

При этом если мы будем соединять середины не противоположных рёбер, то будем получать не бимедианы, а средние линии граней.

Общие свойства тетраэдра

Рассмотрим теперь общие свойства, которые выполняются для всех тетраэдров. 

Мы знаем, что две скрещивающиеся прямые задают единственную пару параллельных плоскостей.

У тетраэдра три пары скрещивающихся рёбер. Проведём через каждую пару таких рёбер пару параллельных плоскостей. Получим тело, образованное тремя парами параллельных плоскостей, то есть параллелепипед. Такой параллелепипед называется описанным вокруг тетраэдра. Причём у каждого тетраэдра есть только один описанный параллелепипед.

Мы знаем, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то есть треугольника с равными площадями. Понять это не сложно. Так как треугольники имеют одинаковые основания и высоту.

Попробуем провести аналогичные рассуждения и понять, как разбить тетраэдр на две равновеликие части — части, равные по объёму.

Если провести плоскость через вершину тетраэдра и медиану основания или, что то же самое, через ребро и середину противоположного ребра, то тетраэдр разбивается на два равновеликих тетраэдра.

У них равные площади оснований и общая высота.

Но, оказывается, есть более общий вариант проведения плоскости, которая делит тетраэдр на два равновеликих.

Любая плоскость, проходящая через бимедиану, то есть через середины противоположных рёбер, делит тетраэдр на две части, равные по объёму.

Рассмотренный перед этим пример, где плоскость проходит через середину ребра и противоположное ребро, очевидно, является частным случаем более общего утверждения. Доказательство этого факта проводят с помощью векторной алгебры. Мы этого делать не будем.

Остановимся на свойствах бимедианы.

Соединим последовательно четыре середины рёбер тетраэдра.

Получим четырёхугольник. Легко показать, что это параллелограмм. На самом деле  и являются средними линиями левой и правой граней с общим основанием . Значит, они параллельны  и равны его половине: . Тогда они параллельны друг другу и равны. То есть  — параллелограмм. Диагонали этого параллелограмма  и  — бимедианы тетраэдра. Они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Из этого следует, что все три бимедианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эта точка называется центроидом тетраэдра, или центром тяжести.

Теперь посмотрим, как ведут себя медианы тетраэдра.

Проведём медиану правой грани . Центр тяжести правой грани  делит её в отношении .  — медиана тетраэдра. Медиана  и бимедиана тетраэдра  лежат в одной плоскости треугольника . Следовательно, пересекаются.

Рассмотрим этот треугольник отдельно. Постараемся понять, в какой точке пересекаются  и .

Точки  и  делят  на три равные части: .

 как средняя линия треугольника . Тогда, по теореме Фалеса, раз , то . Тогда  — середина бимедианы тетраэдра, то есть  — центроид тетраэдра. Получается, что медиана тетраэдра проходит через центроид тетраэдра — . Тогда все медианы тетраэдра пересекаются в его центроиде.

Попробуем понять, в каком отношении они делятся при пересечении. Разделим  и пополам. Проведём отрезок . Он параллелен  как средняя линия треугольника .

Проведём через  и  прямые, параллельные .

По теореме Фалеса, они разделят  на четыре равные части. Три части с одной стороны от точки , одна — с другой. Таким образом точка  делит  в отношении считая от вершины: Сформулируем всё это в виде теоремы.

Теорема

Все бимедианы и медианы тетраэдра пересекаются в одной точке — в центроиде, или центре тяжести. Бимедианы при этом делятся пополам, а медианы — в отношении , считая от вершины.

Тетраэдр можно достроить до параллелепипеда различными способами. Предложение «достроить тетраэдр до параллелепипеда» означает, что из тетраэдра нужно получить параллелепипед, четыре вершины которого являются вершинами тетраэдра.

Например, тетраэдр  можно достроить до параллелепипеда следующим образом: треугольник  достраиваем до параллелограмма  и дальше уже строим параллелепипед .

Ещё один способ — построить описанный параллелепипед. В этом случае вершины тетраэдра так же окажутся вершинами параллелепипеда. Заметим, что одна диагональ верхней грани — ребро тетраэдра, а вторая — параллельна и равна противоположному ребру. Давайте опишем вокруг тетраэдра параллелепипед.

Отметим середину ребра . Проведём через эту середину отрезок параллельно  так, чтобы он тоже разделился этой точкой пополам. Построим параллелограмм — верхнюю грань.

И достроим параллелепипед.

Равногранный и прямоугольный тетраэдры

Рассмотрим некоторые специфические виды тетраэдров. Начнём с равногранного тетраэдра.

Равногранным тетраэдром называется тетраэдр, все грани которого равны, то есть являются одинаковыми треугольниками.

Обратите внимание, что равногранный тетраэдр и правильный тетраэдр — это не одно и то же.

Грани у равногранного тетраэдра равны, но сами не обязательно являются равносторонними треугольниками. Таким образом, правильный тетраэдр является равногранным, но не наоборот.

Построить равногранный тетраэдр не сложно. Возьмём произвольный остроугольный треугольник, проведём три его средние линии. Они разделят треугольник на четыре равных треугольника.

Осталось согнуть исходный треугольник по средним линиям и получить равногранный тетраэдр.

Помним, у равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Аналогичное утверждение верно для равногранного тетраэдра.

Теорема

У равногранного тетраэдра центры вписанной и описанной сфер совпадают.

Доказательство

Опишем вокруг равногранного тетраэдра сферу.

Так как все грани — равные треугольники, то их плоскости пересекают описанную сферу по равным окружностям. Но такие плоскости находятся на одном расстоянии от центра сферы. Тогда этот центр является также центром вписанной сферы.

Мы рассмотрели аналогию равностороннего треугольника — равногранный тетраэдр. Давайте теперь рассмотрим аналогию прямоугольного треугольника — прямоугольный тетраэдр.

Прямоугольным тетраэдром называют такой тетраэдр, у которого все плоские углы при одной вершине прямые.

С таким тетраэдом мы уже сталкивались. И даже доказали для него пространственную теорему Пифагора: сумма квадратов площадей трёх катетных граней равна квадрату площади гипотенузной грани.

Посмотреть на доказательство можно в уроке Пирамида и призма. Профильный уровень. Видеоурок. Геометрия. 10-й класс

В произвольном тетраэдре высота может падать в произвольную точку основания или даже вне его.

Рассмотрим, куда падает высота у прямоугольного тетраэдра, проведённая к гипотенузной грани. Для этого опрокинем тетраэдр на одну из катетных граней. Проведём высоту к гипотенузной грани .

Так как ребро  перпендикулярно нижней грани , то вся плоскость . Аналогично она перпендикулярна и гипотенузной грани . Тогда она перпендикулярна и ребру, по которому эти грани пересекаются . Тогда  и  — высота гипотенузной грани. То есть высота тетраэдра  падает на высоту гипотенузной грани . Аналогично она падает и на остальные её высоты.

Таким образом, высота прямоугольного тетраэдра, проведённая к гипотенузной грани, падает на пересечение высот этой грани.

Ортоцентрический и каркасный тетраэдры

В треугольнике любой набор замечательных линий: биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров — пересекаются в одной точке.

Мы уже выяснили, что у тетраэдра медианы пересекаются в одной точке — в центроиде. Верно ли будет подобное утверждение относительно высот тетраэдра? Оказывается, в общем случае это не так.

Если у тетраэдра высоты или их продолжения пересекаются в одной точке, то такая точка называется ортоцентром тетраэдра, а сам тетраэдр — ортоцентрическим.

Итак, у любого тетраэдра есть центроид — точка пересечения медиан, но не у любого тетраэдра есть ортоцентр — точка пересечения высот.

Глядя на тетраэдр, не так легко понять, есть ли у него общая точка пересечения высот, то есть является ли он ортоцентрическим. Но есть удобный признак это распознать.

Тетраэдр, у которого противоположные рёбра попарно перпендикулярны, называется ортогональным. Оказывается, ортогональный тетраэдр является ортоцентрическим, и наоборот.

Теорема

Ортогональный тетраэдр является ортоцентрическим, и наоборот.

Доказательство

Рассмотрим ортогональный тетраэдр. У него противоположные рёбра перпендикулярны.

Например: .

Проведём высоту .

Плоскость . Следовательно,  — высота треугольника ,  — высота треугольника .

Высота  треугольника  является высотой тетраэдра .

Таким образом, произвольные пары высот тетраэдра пересекаются в одной точке. Но попарно пересекающиеся прямые или лежат в одной плоскости, или пересекаются в одной точке. Высоты тетраэдра не лежат в одной плоскости. И следовательно, пересекаются в одной точке .

Докажем обратное утверждение.

Пусть высоты тетраэдра  пересекаются в одной точке , тогда  и, следовательно, . Аналогично,  и, следовательно, . Таким образом,  и, следовательно, . Аналогично доказывается перпендикулярность остальных противоположных рёбер.

Посмотрим на бимедианы ортоцентрического тетраэдра. Для этого соединим четыре середины его рёбер. Они образуют параллелограмм.

Так как рёбра  и  перпендикулярны, то перпендикулярны и отрезки . То есть полученный параллелограмм  на самом деле прямоугольник. Тогда его диагонали, то есть бимедианы  и равны: .

Верны и обратные рассуждения.

Если :  — прямоугольник. Тогда противоположные рёбра тетраэдра перпендикулярны . То есть тетраэдр  является ортогональным, значит, и ортоцентрическим.

Таким образом мы показали следующее.

Ортоцентрический тетраэдр, ортогональный тетраэдр и тетраэдр с равными бимедианами — это одно и то же. Кроме того, мы увидели, что высоты такого тетраэдра опускаются в ортоцентры граней, то есть в точку пересечения высот граней.

Рассмотрим ещё один тип тетраэдра — каркасный.

Каркасным называется тетраэдр, для которого существует сфера, касающаяся всех шести рёбер тетраэдра. Не всякий тетраэдр каркасный.

Возьмём прямоугольный параллелепипед, который не является кубом, и построим у него внутри вписанный равногранный тетраэдр.

Если бы тетраэдр был каркасным, то существовала бы сфера, касающаяся всех его рёбер, то есть вписанная в параллелепипед.

Но, очевидно, в параллелепипед, не являющийся кубом, сфера не вписывается.

Почему представляет интерес этот вид тетраэдра?

Мы уже показали, что в любой тетраэдр можно вписать сферу. То есть любой тетраэдр является описанным. В этом было его сходство с треугольником.

А вот каркасный тетраэдр — это очевидная аналогия с описанным четырёхугольником.

Вспомним признак описанного четырёхугольника: в четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Доказательство основывается на том факте, что отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Тогда точки касания вписанной окружности делят все стороны четырёхугольника на попарно равные отрезки.

Аналогичное верно и для касательных к сфере.

Теорема

Если из точки провести несколько касательных к сфере, то расстояния от этой точки до точек касания будут равны.

Тогда расстояния от каждой вершины до точек касания на прилегающих к ней рёбрах будут равны. Тогда сумма любой пары противоположных рёбер равна .

Можно показать и обратное.

Теорема

Если суммы длин противоположных рёбер равны, то тетраэдр каркасный.

Доказательство

Пусть суммы длин противоположных рёбер тетраэдра равны. Впишем в треугольник окружность.

— точка касания этой окружности и стороны .

Отрезок от вершины до точки касания легко выражается через три стороны треугольника.

Далее:

Следовательно, точка  является точкой касания окружности, вписанной в треугольник .

Через центры этих двух окружностей проведём перпендикуляры. Они лежат в одной плоскости, проходящей через  и перпендикулярной . Точка  их пересечения будет равноудалена от сторон треугольников  и .

Таким образом, любые два перпендикуляра, проходящие через центр окружностей, вписанных в грани тетраэдра, пересекаются. Из этого следует, что или они лежат в одной плоскости, или пересекаются в одной точке. Поскольку они не лежат в одной плоскости, значит, они пересекаются в одной точке , равноудалённой от всех рёбер тетраэдра. То есть  — центр сферы, касающейся всех рёбер данного тетраэдра.

Таким образом, мы получили необходимый и достаточный признак каркасного тетраэдра.

Тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных рёбер равны.

Попутно в доказательстве мы обнаружили тот факт, что окружности, вписанные в грани, касаются друг друга. Таким образом, мы получили набор свойств каркасного тетраэдра, каждое из которого можно взять в качестве определения.

Свойства каркасных тетраэдров:

1. Существует сфера, касающаяся всех рёбер тетраэдра.

2. Суммы длин скрещивающихся рёбер равны.

3. Окружности, вписанные в грани, попарно касаются.

4. Перпендикуляры, восстановленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

Заключение

На этом уроке мы дали определения различным элементам тетраэдра, рассмотрели различные его свойства, а также некоторые специфические типы тетраэдров.

Задания для самопроверки

1. Докажите, что все точки, равноудалённые от концов ребра, принадлежат биссектральной плоскости.

2. Выразите отрезок от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности через три стороны треугольника.

3. Для произвольного тетраэдра изобразите его бимедианы.

Дополнительные ссылки

1. Каталог по темам.

2. Стереометрия (геометрия в пространстве). Все свойства, теоремы, аксиомы и формулы. Математика. Онлайн-подготовка к ЦТ и ЕГЭ.

3. mathprofi.ru.

Список использованных источников:

Рис. 1–49. Моушн-дизайнер Лопатин М. С.