14. Задачи на построение сечений в параллелепипеде

Тема урока

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Задачи на построение сечений в параллелепипеде». 

Повторение свойств параллелепипеда

Рассмотрим параллелепипед (рис. 1). Вспомним его свойства.

1) Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.

Например, параллелограммы и равны (то есть их можно совместить наложением) и лежат в параллельных плоскостях.

2) Длины параллельных ребер равны.

Например, (рис. 2).

3) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Например, диагонали параллелепипеда и пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 3).

4) В сечение параллелепипеда может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

Задача на сечение параллелепипеда

Например, рассмотрим решение следующей задачи. Дан параллелепипед и точки на ребрах , , соответственно (рис. 4). Постройте сечения параллелепипеда плоскостью . Точки и одновременно лежат в плоскости и в секущей плоскости. Значит, – линия пересечения двух указанных плоскостей. Аналогично получаем и . То есть, сечением будет треугольник .

Задача 1 Построить сечение параллелепипеда

Построить сечение параллелепипеда плоскостью , где .

Решение (см. рис. 5)

1 способ

Соединим точки и . Эти точки лежат одновременно в плоскости и в секущей плоскости. Значит, – линия пересечения этих плоскостей.

Если две параллельные плоскости и рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую параллельно , . Соединим точки и . - искомое сечение. Заметим, что – параллелограмм. Чтобы найти площадь сечения параллелепипеда, нужно найти площадь полученного параллелограмма.

2 способ

Соединим точки и .

Если две параллельные плоскости и рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую параллельно , . Соединим точки и . - искомое сечение.

Задача 2 Построить сечение параллелепипеда

Построить сечение параллелепипеда плоскостью , где , ,  (рис. 6).

Комментарий. В этой и в следующих задачах вид сечения зависит от расположения точек. Например, если бы в задачи 2 расположение точек было бы другим, то и сечение получилось бы иным. И соответственно, площадь сечения параллелепипеда нужно было бы считать по разным формулам.

Решение:

1 способ (рис. 7)

Соединим точки и и получим прямую – линию пересечения плоскости и секущей плоскости.

Соединим точки и и получим прямую – линию пересечения плоскости и секущей плоскости.

Если две параллельные плоскости и рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую параллельно , .

Если две параллельные плоскости и рассечены третьей плоскостью (секущей плоскостью), то линии их пересечения параллельны. Поэтому, проведем прямую параллельно , .

Соединим точки и . Пятиугольник - искомое сечение.

2 способ (рис. 8)

Соединим точки и и получим прямую – линию пересечения плоскости и секущей плоскости. Продлим прямые и до их пересечения в точке .

Соединим точки и и получим прямую – линию пересечения плоскости и секущей плоскости. Продлим прямые и до их пересечения в точке .

Точки  и лежат в плоскости . Соединим точки и . Получаем , .

Соединим точки и , и . Пятиугольник - искомое сечение.

Задача 3 Построить сечение параллелепипеда

Изобразите параллелепипед и отметьте точку грани . Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку параллельно:

а) плоскости основания ;

б) плоскости .

Решение:

а) Заметим, что секущая плоскость и плоскость пересекаются третьей плоскостью . Значит, линии пересечения параллельны. Поэтому через точку проведем прямую параллельно (рис. 9), , . – это линия пересечения секущей плоскости и грани .

Проведем прямую параллельно , .

Проведем прямую параллельно , .

Соединим точки и . – искомое сечение.

б) Плоскость и секущая плоскость рассекаются третьей плоскостью по параллельным прямым. Поэтому через точку проведем прямую параллельно прямой , , .

Проведем прямую параллельно , .

Проведем прямую параллельно , .

Соединим точки и . – искомое сечение.

Задача 4 Построить сечение параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью , где . Определите вид полученного сечения.

Решение: (рис. 11)

Параллельные плоскости и рассечены плоскостью сечения по параллельным прямым. Значит, через точку нужно провести прямую параллельно , , .

Соединим точки и , и . – искомое сечение. – трапеция, так как .

Задача 5 Построить сечение куба

Ребро куба равно .

1) Постройте сечение куба плоскостью , где – середина ребра (рис. 12).

Решение:

Точки и лежат одновременно и в секущей плоскости, и в плоскости . Значит, – линия пересечения этих плоскостей.

Параллельные плоскости и   рассечены плоскостью сечения по параллельным прямым. Значит, через точку нужно провести прямую параллельно ,  (рис. 13).

Соединим точки и , и . – искомое сечение. – трапеция, так как .

Заметим, что – средняя линия треугольника .

2) Найдите периметр сечения .

По условию, ребро куба равно (рис. 14). Значит, диагональ .

Найдем длину отрезка : , так как – средняя линия треугольника . То есть .

, так как треугольники и равны.

Найдем из прямоугольного треугольника . По теореме Пифагора .

Вычислим периметр:

Ответ: .

Задача 6

По рисунку (рис. 15) найти точку пересечения прямой (; ) и плоскости параллелепипеда .

Решение:

Рассмотрим плоскость . В этой плоскости лежит прямая и прямая . Эти прямые не параллельны. Найдем точку пересечения прямых и . Обозначим точку пересечения (рис. 16).

Точка лежит на прямой и на прямой , а значит и в плоскости . Мы нашли след прямой на плоскости . Точка – искомая.

Задача 7

Построить сечение параллелепипеда плоскостью , где , ,  (рис. 17).

Решение:

Найдем точку пересечения прямой и плоскости (см. зад. 6). Обозначим эту точку (рис. 18).

Соединим точки и , так как эти точки лежат одновременно и в плоскости сечения и в плоскости . Получим точки пересечения прямой и ребер и – точки и соответственно, , .

Соединим точки и , и .

Проведем параллельно , .

Проведем параллельно , .

Соединим точки и . – искомый шестиугольник.

Итоги урока по теме Сечение параллелепипеда, Площадь сечения параллелепипеда

Итак, мы вспомнили основные свойства параллелепипеда и решили серию типовых задач на построение сечений в параллелепипеде и посчитали периметр и площадь параллелепипеда.

Список рекомендованной литературы по теме \"Параллелепипед\", \"Сечение параллелепипеда\", \"Площадь сечения прямоугольного параллелепипеда\"

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎uztest.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «kakprosto.ru‎» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание: построить сечение параллелепипеда, посчитать периметр и площадь параллелепипеда

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 50                       

2. Дан параллелепипед . и – середины ребер и .

а) Постройте точки пересечения прямых и плоскостью грани .

б) Постройте линию пересечения плоскостей и .

3. Постройте сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через и середину ребра .