13. Задачи на тетраэдр

Тема урока

На этом уроке мы будем решать разнообразные задачи в тетраэдре с использованием свойств сечений, средней линии треугольника, признака параллельности прямой и плоскости и параллельности двух плоскостей.

Задача 1

Точки М и N – середины ребер АВ и АС тетраэдра АВСD (рис. 1). Докажите, что прямая МN параллельна плоскости ВСD. Найдите длину отрезка МN, если ВС = а.

Решение:

АМ = ВМ, так как М – середина отрезка АВ, АN = СN, так как N - средина отрезка АС. МN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, МN параллельна ВС и

Прямая МN параллельна прямой ВС, которая лежит в плоскости ВСD, и не лежит в плоскости ВСD. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая МN параллельна плоскости ВСD, что и требовалось доказать.

Задача 2

Через середины ребер АВ и BС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SАB и SBС по параллельным прямым.

Доказательство:

Обозначим середины ребер АВ и АС – как М и N соответственно, а плоскость, проходящую через точки М и N параллельно ребру SB, как φ.

Плоскость АВS проходит через прямую SB, параллельную плоскости φ и пересекает эту плоскость по прямой МL,Значит, прямая МL параллельна прямой SB.

Плоскость ВSС проходит через прямую SB, параллельную плоскости φ и пересекает эту плоскость по прямой NP,Значит, прямая PN параллельна прямой SB.

Имеем, что две прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой SB. Значит, прямые МL и NP параллельны, что и требовалось доказать.

Задача 3

Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD параллельна плоскости BCD.

Доказательство:

Пусть А­1, В1, С1 – середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD (рис. 3). Докажем, что плоскость А­1В1С1параллельна плоскости BCD.

А­­­1С1 – средняя линия треугольника АВD. Из свойств средней линии следует, что А1С1параллельна BD.А­­­1В1 – средняя линия треугольника АСD. Из свойств средней линии следует, что А­­­1В1параллельна СD. Прямые А­­­1С1и А­­­1В1 пересекаются в точке А­­­1. По признаку параллельности плоскостей, плоскости А­1В1С1 иBCD параллельны, что и требовалось доказать.

Задача 4

а) Постройте сечение тетраэдра АBCD плоскостью α, проходящей через точку М ребра ВD, параллельно ребрам АD и ВС.

б) Докажите, что полученное сечение – параллелограмм.

в) Найдите углы полученного в сечении параллелограмма, если угол между прямыми АD и ВС равен\\U0001D711.

а) Построение:

1) Проведем прямую ML параллельно прямой АD в плоскости АDВ,

2) Проведем прямую MN параллельно прямой BC в плоскости BCD,

3) Проведем прямую NP параллельно прямой АD в плоскости АDC, 

4) Проведем прямую LP.

5) Так как прямая АD, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой ML, лежащей в плоскости MNL, то прямая АD параллельна MNL по признаку. Так как прямая ВС, не лежащая в плоскости MNL параллельна прямой MN, лежащей в плоскости MNL, то прямая ВС параллельна MNL по признаку.Значит, MNLP – искомое сечение.

б) Докажем, что сечение MNLP – параллелограмм. Прямые МL и NP параллельны одной и той же прямой  АD. Значит, прямые МL и NP параллельны. Прямые МN и LP параллельны одной и той же прямой ВС. Значит, прямые МN и LP параллельны. Имеем, что в четырехугольнике МNLP противоположные стороны попрано параллельны, по определению, МNLP – параллелограмм.

в) Заметим, что прямые АD и ВС – скрещивающиеся прямые (по признаку скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающимися прямыми АD и ВС равен либо углу МLP, либо углу LМN. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна π. Значит, в этом параллелограмме углы равны либо \\U0001D711, либо π – \\U0001D711.

Итоги урока

Итак, мы решили серию типовых задач на тетраэдр. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на параллелепипед.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎» (Источник).

2. Видеохостинг «‎youtube.com» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 50

2. М - середина ребра АDтетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М и параллельной плоскости АВС. Найдите периметр сечения, если АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 4 см.

3. В тетраэдре SABC точка О лежит в плоскости ABC, а точка М - на отрезке SO. Постройте сечения тетраэдра плоскостью BMC.

4. Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, C и середину ребра AD. Вычислите периметр сечения.