Четыре замечательные точки треугольника

1-я замечательная точка: точка пересечения серединных перпендикуляров

Рассмотрим отрезок . Проведем серединный перпендикуляр.

Если точка лежит на серединном перпендикуляре, то она равноудалена от концов отрезка.

(вытекает из равенства прямоугольных треугольников).

Обратно, если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре.

Определение: серединный перпендикуляр – это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от концов отрезка.

Рассмотрим треугольник.

Проведем серединные перпендикуляры к сторонам и . Они пересекутся в точке .

Точка O равноудалена от концов отрезка . Т.е. , также точка равноудалена от концов отрезка .

Но т.к. , то точка также равноудалена от концов отрезка , т.е. лежит на серединном перпендикуляре к отрезку .

Мы доказали теорему:

Теорема: 3 серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, и эта точка – центр описанной окружности.

2-я замечательная точка: точка пересечения биссектрис

Рассмотрим угол . Проведем биссектрису. Рассмотрим любую внутреннюю точку биссектрисы. Эта точка равноудалена от сторон угла (т.к.

, а также .

Если мы захотим вписать в угол окружность, то ее центр должен лежать на биссектрисе.

Обратно, если точка равноудалена от сторон угла, то он лежит на биссектрисе.

Определение: биссектриса – это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от сторон угла.

Рассмотрим треугольник .

Проведем биссектрисы углов и . Они пересекутся в точке.

Точка равноудалена от сторон угла

Точка O равноудалена от сторон угла

Т.к. , значит, точка равноудалена от сторон угла .

Мы доказали теорему.

Теорема: 3 биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Кроме того, стоит упомянуть о равных отрезках касательных. На рисунке ниже наглядно представлено это свойство:

Решение задачи

Дан треугольник, в котором известен полупериметр  и сторона .

Найти: длину касательной .

Решение:

1. Проведем биссектрисы и получим центр вписанной окружности .

2. Из точки опустим перпендикуляры на стороны и получим точки касания:

– точки касания.

3. Отметим равные касательные

4. Напишем связь между сторонами треугольника и касательными.

Сложим 3 соотношения:

Ответ:

Замечание: для прямоугольного треугольника аналогично выводится формула для радиуса вписанной окружности (в который превращается один из отрезков касательных):

3-я, 4-я замечательные точки

Высоты

 треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот называется

ортоцентром треугольника.

В случае, если треугольник тупоугольный, ортоцентр находится вне треугольника.

Медианытреугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан – центр тяжести треугольника. Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Список литературы

1. Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9

Домашнее задание

Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: №№ 674-688