01. Треугольники: признаки равенства и подобия треугольников, их основные элементы и замечательные точки
13 мин
02. Прямоугольный треугольник
22 мин
03. Обобщённая теорема Пифагора
16 мин
04. Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде
24 мин
05. Прямоугольный треугольник. Вычислительные задачи
22 мин
06. Окружность
23 мин
07. Четыре замечательные точки треугольника
22 мин
08. Вписанные и описанные окружности
20 мин
09. Четырёхугольники. Параллелограмм
21 мин
10. Соотношения между сторонами и углами треугольника
23 мин
11. Дополнительные сведения о медиане треугольника
23 мин
12. Сравнение длин
24 мин
13. Точка внутри и вне окружности
26 мин
14. Площади четырёхугольников
18 мин
15. Метод координат
35 мин
16. Метод масс в геометрии
16 мин
17. Удвоение медианы
12 мин
09. Четырёхугольники. Параллелограмм
Видео доступно по абонементу
Определение, свойства (с доказательством)
Определение: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства:
1. Противоположные стороны равны.
2. Противоположные углы равны.
3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна .
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
5. Диагонали параллелограмма рассекают его на 4 равновеликих треугольника:
Докажем свойство 5:
Аналогично доказывается равенство площадей других треугольников.
6.
Доказательство:
Пусть Тогда Вспомним, что:
По теореме косинусов (для треугольника):
По теореме косинусов (для треугольника ):
Сложим 2 равенства:
7. Точка пересечения диагоналей параллелограмма – это центр симметрии. Любые центрально-симметричные элементы параллелограмма равны между собой.
Признаки
Четырехугольник является параллелограммом, если:
1. 2 стороны параллельны и равны друг другу.
2. Его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
Частные случаи параллелограмма
1. Прямоугольник
Определение: прямоугольник – это параллелограмм, у которого хотя бы один угол равен (все углы равны ).
Для всех частных случаев параллелограмма применимы все свойства параллелограмма. Тем не менее есть особенные свойства.
Свойства:
1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Около прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения диагоналей, радиус описанной окружности: .
2. Ромб
Определение: ромб – это параллелограмм, у которого две соседние стороны равны между собой (все стороны равны).
Свойства:
1. Диагонали ромба перпендикулярны.
2. Диагонали являются биссектрисами углов.
3. В ромб можно вписать окружность (4 биссектрисы пересекаются в одной точке).
3. Квадрат
Определение: квадрат – это ромб, у которого хотя бы один угол равен (все углы равны ).
Для квадрата применимы все свойства ромба и прямоугольника. Тем не менее есть особенные свойства.
В частности,
1. Вокруг квадрата можно описать окружность, ,
2. В квадрат можно вписать окружность, .
Список литературы
1. Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 .
2. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы, 9 класс .
Домашнее задание
1. Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: №№ 371-384 (параллелограмм), №№ 399-423 (прямоугольник, ромб, квадрат).
2. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы, 9 класс: все задачи под пунктами C2, C3, C7.
"