04. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника и его элементов

Определение правильного многоугольника

Правильным многоугольником называется такой выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.

Вот фрагмент правильного n-угольника:– сторона,– длина этой стороны,– угол (рис. 1). Все стороны равны, и все углы тоже равны:

Такой выпуклый n-угольник называется правильным.

Особенности правильного многоугольника

У правильного n-угольника есть важные особенности.

1. Серединные перпендикуляры всех сторон пересекаются в одной точке (), в центре описанной окружности, радиусом окружности является отрезок ;и т. д.

2. Все биссектрисы всех внутренних углов пересекаются в одной точке. Значит, в n-угольник можно вписать окружность,– середины сторон, это точки касания,– это радиус вписанной окружности.  

Итак, есть описанная окружность и есть вписанная окружность, центр один и тот же (точка), эта точка называется центром правильного n-угольника, а радиусыявляются важными элементами этого -угольника(рис. 2).

Далее отметим, что имеем равенство треугольников,и т. д.

Если мы зафиксируем, то важнейшими элементами n-угольника являются: длина стороны (); длина радиуса описанной окружности (); длина радиуса вписанной окружности (); периметр (); площадь (). Первые 4 элемента линейные. При заданномлюбой из линейных элементов однозначно задает n-угольник, а значит, и все его основные элементы.

линейные

Задача 1. Вычисление элементов правильного n – угольника через радиус описанной окружности

Зададим(рис. 3), требуется найти все остальные элементы , заметим, чтоу нас – фиксированное число.

Решение

Решение основано на треугольнике.

 – это центр n-угольника, центр вписанной и описанной окружности;

– это вершина, она лежит на описанной окружности, значит,– это и есть радиус.

– это половина стороны, потому что точка– это точка касания с вписанной окружностью.

Важно, что мы знаем(, а – половина этого угла).

– радиус описанной окружности;– радиус вписанной окружности;– половина стороны.

Если нам дан радиус, то, по существу, нам необходимо решить прямоугольный треугольник, в котором дана гипотенуза () и острый угол.

Чтобы найти катет (), необходимо гипотенузу () умножить на синус противолежащего угла ():

Задача решена, методика решения остальных задач такая же.

Задача 2. Вычисление элементов правильного n – угольника через длину стороны

Дано:

Найти:

Решение

Решение основано на.

Находим (рис. 4),– гипотенуза, чтобы найти гипотенузу, необходимо катет разделить на синус противолежащего угла.

Находим (рис. 4),– катет, чтобы найти катет через другой катет, необходимо этот другой катет умножить на котангенс прилежащего угла:

Осталось найти:

Задача решена.

Задача 3. Площадь правильного n – угольника

Дано:

Найти:

Решение

– это периметр ()

Ответ:

Частные случаи

Задача 4. Правильный треугольник

Важнейшим частным случаем является правильный треугольник.

Задача 4

Первый способ

Дано:

Найти:

Решение

Задача решена.

Второй способ

Чтобы найти катет () (рис. 5), необходимо гипотенузу умножить на:

Катет, лежащий против угла в, равен половине гипотенузы:

Чтобы найти катет, нужно гипотенузу умножить на:

Задача решена.

Вывод

Мы познакомились с понятием «правильный многоугольник», узнали, каковы его элементы, и вывели формулы для их вычисления, решили типовые задачи, рассмотрели задачи частного случая.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Matematikalegko.ru (Источник).

2. Resolventa.ru (Источник).

Домашнее задание

Задание 1. Верно ли утверждение:

а) любой правильный многоугольник является выпуклым;
б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.

Задание 2. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Задание 3. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?