16. Метод масс в геометрии

Введение

Пусть есть качели. Обозначим их в виде отрезка АВ и будем их считать невесомыми.

Причем, в точках А и В подвешены гирьки с массами m1 и m2. Для определенности будемсчитать, что m2>m1.

Задача найти в этом случае туточку, которая уравновесит данные качели.

Логично, что если эту точкупоставить в середине отрезка, то m2 перевесит:

Теорема

Центр масс данной системы двухточек будет такая точка О данного отрезка, что AO*m₁ = BO*m2.
Или соответственно

Таким образом, точка O разбивает наш отрезок в отношении обратно пропорциональном тем массам, которые находятся в точках A и B.

Задача 1

Дана масса груза, расположенного в точке A-m₁=1, а масса груза, расположенного в точке B - m2=2.
Найти положение центра масс.

Решение:

Из теоремы (2) следует, что центр данной системы – это такая точка О, которая разделит отрезок АВ в отношении 2 к 1, считая от вершины А.

Ответ: 

Задача 2

Дана масса груза, расположенного в точке A - m1=1, а масса груза, расположенного в точке B - m2=2.
Найти положение центра масс.

Решение:

Из теоремы (2) следует, что центр данной системы – это такая точка О, которая разделит отрезок АВ в отношении 2 к 1, считая от вершины А.

Ответ: 

Нахождение центра масс треугольника

К примеру, дан треугольник ABC. В точках A, B и C находятся гирьки с массами соответственно m1, m2 и m3.

Центр масс данной системы будет

Если дана система с несколькимиточками, где на каждой из точек существует груз, то вместо любой пары точекможно рассматривать их центр масс, в котором находится суммарная масса исходныхдвух точек.

Таким образом: центр тяжестиданной системы - это центр масс системы из двух точек O и C. Где точка O–это центр масс отрезка AB c массой m₁+m2.

Ответ: Центр масстреугольника – это некоторая точка P на отрезке CO.

m=m₁+m2+m3.

Задача 3

Дан треугольник ABC с массами mA, mB и mC=1. Найти центр массданного треугольника.

Решение:

Найдем центр масс для точек A и B. В данном случае это будет точка M, которая является серединойотрезка AB, потому чтов точках A и B стоят одинаковые массы. Вточке M масса будетравна 2.

Таким образом, центр системы –точка O, которая делитотрезок MC в отношении2/1 от вершины C.Данную аналогию можно провести с каждой вершиной.

Ответ: В треугольнике естьединственная точка O,которая делит каждую медиану в отношении 2/1 от вершины.

Теорема о медианах

Отсюда следует известная теорема о медианах треугольника:Все медианы треугольника пересекаются в одной точке в соотношении 2/1.

Задача 4

Дан треугольник ABC. BM – медиана, AN делитсторону BC в отношении 1/2 от вершины B. AN пересекает BM в точке O. Найти отношение BO:OM.

Решение: Поставим массу 2 в точку B и массу 1 в точку C. В точку A нам требуется тоже поставить массу 1.

1)  Центроммасс точек B и C будет точка N с массой 3. Центр масстреугольника лежит на отрезке AN.

2)  Центроммасс точек A и C будет точка M с массой 2. Центр масстреугольника лежит на отрезке BM.

3)  Центрмасс лежит на двух отрезках одновременно, следовательно, он является точкой ихпересечения – точка O.

4)  BO/OM = 2/2 = 1/1

Список литературы

Геометрия масс. Балк  М.Б., Болтянский  В.Г. (Источник).