03. Обобщённая теорема Пифагора

Введение

Ранее мы рассмотрели признаки равенства произвольных треугольников, четыре замечательные точки в треугольнике.

В прямоугольном треугольнике рассмотрели правило нахождения сторон треугольника по тригонометрическим функциям угла и рассмотрели, как удачно биссектриса рассекает прямой угол треугольника.

В результате  чего получили 3 соотношения:

Обобщенная теорема Пифагора

Обозначим

Очевидно, что

Разделим это равенство на S:(1)

Мы уже показывали, что(подобие прямоугольных треугольников по острому углу).

Как мы знаем, все линейные элементы подобных треугольников соотносятся как коэффициент подобия, а площади подобных треугольников соотносятся как квадрат коэффициента подобия.

(2)

где b – гипотенуза треугольника, c – гипотенуза треугольника,– любой элемент треугольника, t – соответственный ему элемент треугольника(3)

Аналогично,

(4)

(5)

Подставим (3) и (5) в (1). Получим:

В это равенство подставим

Получаем

Это соотношение носит название обобщенной теоремы Пифагора.

Напоследок напомним:

t1, t2, t – это тройка соответственных элементов треугольников Δ1, Δ2 и Δ.

Пример 1. Теорема Пифагора

Рассмотрим всё те же треугольники

Пусть (гипотенуза).

Соответственные гипотенузы в треугольниках,

Таким образом, получаем привычную нам теорему Пифагора:

Сумма квадратов катетов есть квадрат гипотенузы.

Пример 2. Отношение для радиусов вписанных окружностей

Рассмотрим треугольники

Пусть(радиус вписанной окружности).

Соответственные радиусы вписанных окружностей в треугольниках

Получаем:

Зачастую просят найти один из этих элементов. Изящнее решить эту задачу именно с помощью обобщенной теоремы Пифагора.

Обобщение обобщенной теоремы Пифагора

Можно рассмотреть обобщение обобщенной теоремы Пифагора.

Рассмотрим тот же

Опустим из вершины C прямого угла высоту. Она рассекает прямоугольный треугольник на 2 подобных. Мы можем провести ввысотуиз вершины прямого угла. Она точно так же в свою очередь разбиваетна подобные треугольники с теми же угламии

Аналогично, 

t12+t22+t32=t2

Список литературы

1. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики (стр. 215) (Источник). 

Домашнее задание

Прочитать статью на стр. 215 вышеуказанного учебника.