02. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Вспомним определение: правильным называется такой выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. На Рис. 1 приведен пример правильного многоугольника .

Он является выпуклым, поскольку целиком располагается по одну сторону (в одной полуплоскости)  от прямой, проведенной через любую из его сторон (например через сторону ).

Все стороны многоугольника равны между собой:

Все углы фигуры также равны между собой, причем .

Вспомним еще одно определение: окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.

На Рис. 2 дан пример окружности, описанной около прямоугольника . Диагонали прямоугольника пересекаются в точке , равноудаленной от его вершин, причем расстояние от этой точки до любой вершины равно радиусу окружности:

Следующий пример – равнобедренная трапеция   (Рис. 3). Как известно, около такой трапеции можно описать окружность, т. е. существует такая точка О, которая равноудалена от всех вершин трапеции:

Каждый многоугольник состоит из отдельных отрезков – сторон многоугольника. На Рис. 4 дан пример такого отрезка . Точка– середина этого отрезка, а прямая – серединный перпендикуляр. Вспомним и его определение: серединным перпендикуляром к отрезку называется геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. 

  (точка принадлежит серединному перпендикуляру р тогда и только тогда, когда ). Это пояснение распадается на два утверждения.

Первое утверждение: если точка лежит на серединном перпендикуляре, то она равноудалена от точек и , т. е. .

Это утверждение становится очевидным, если обратить внимание на равенство прямоугольных треугольников и (по двум катетам).

Второе (обратное) утверждение: пусть точка равноудалена от концов отрезка . Принадлежит ли она серединному перпендикуляру? Ответ утвердительный, поскольку (по трем сторонам), и, следовательно, отрезок  – медиана равнобедренного, а по свойствам такой медианы, она же является и высотой данного треугольника.

Отмеченные свойства серединного перпендикуляра, по существу, лежат в основе описания всех свойств описанных окружностей.

Поясним это определение.

Примером тому может служить следующее утверждение (см. Рис. 5): около   угольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры всех его сторон имеют общую точку: ,

то есть эта точка равноудалена от всех вершин фигуры.

Приведем конкретные примеры.

1. Правильный треугольник ()
   Известно, что около любого треугольника , в том числе правильного, можно описать окружность (Рис. 6). Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров ( ). Особенность этого случая такова, что в случае правильного треугольника на серединных перпендикулярах лежат и биссектрисы, и медианы, и высоты. Точка  равноудалена от всех вершин треугольника.

1. Правильный четырехугольник (), то есть квадрат .

Около такой фигуры (Рис. 7) также можно описать окружность. Ее центр будет лежать на пересечении серединных перпендикуляров. Особенностью этого случая является то, что серединные перпендикуляры противоположных сторон квадрата совпадают (). Тем не менее все серединные перпендикуляры будут иметь общую точку , равноудаленную от всех вершин квадрата: 

1. Правильный угольник. Докажем, что серединные перпендикуляры двух смежных сторон правильного многоугольника пересекаются.

На Рис. 8 приведен фрагмент правильного многоугольника. Используем метод доказательства от противного. Пусть серединные перпендикуляры двух смежных сторон многоугольника параллельны, .

По условию, . Если серединные перпендикуляры параллельны между собой, то смежные стороны   многоугольника должны совпасть (см. Рис. 9), что противоречит условию (поскольку нам дан правильный многоугольник, в котором внутренние углы меньше развернутого). Таким образом, существует точка пересечения серединных перпендикуляров двух смежных сторон правильного многоугольника. Эта точка равноудалена от трех вершин многоугольника.

1. Правильный угольник. Докажем, что биссектрисы двух соседних углов многоугольника пересекаются.

На Рис. 10 дан фрагмент правильного многоугольника, при этом  – биссектрисы двух его соседних углов. Снова воспользуемся доказательством от противного.

Пусть  . Тогда половина угла в сумме с половиной угла дадут как односторонние углы при параллельных прямых (см. Рис. 11). То есть

(все обозначения показаны на рисунках). Последнее невозможно по причинам, указанным в предыдущем доказательстве.

Таким образом, существует точка пересечения биссектрис соседних углов правильного многоугольника (точка О), равноудаленная от вершин этих углов. Последнее свойство является следствием того, что половинки углов правильного многоугольника равны, а значит, – равнобедренный. То есть

1. Теперь рассмотрим основную теорему данного урока:

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну. Первое доказательство проведем с помощью серединных перпендикуляров (Рис. 12).

Пусть – два серединных перпендикуляра, пересекающиеся в точке , и эта точка равноудалена от вершин многоугольника (, где – радиус описанной вокруг многоугольника окружности). Докажем, что окружность проходит через следующую вершину .

Рассмотрим треугольники и . Из определения правильного многоугольника следует их равенство по двум сторонам и углу между ними (одна из сторон – общая для обоих треугольников , а остальные – стороны правильного многоугольника   и , которые равны). Отсюда следует, что  , то есть вершина также лежит на окружности. Проводя подобные рассуждения последовательно для всех остальных вершин, можно доказать, что и они все лежат на окружности. Эта окружность – единственная, так как она проходит через три точки (любые три вершины многоугольника), не лежащие на одной прямой.

Таким образом, теорема доказана. Второй способ доказательства использует свойства биссектрис соседних углов.

Пусть биссектрисы и пересекаются в точке . Как мы доказали выше, , то есть – равнобедренный. В этом треугольнике углы при основании () равны.

Пусть .

Далее замечаем, что = по двум сторонам и углу между ними. Значит, . Проведя аналогичные рассуждения для всех остальных вершин многоугольника, приходим к выводу о том, что все вершины правильного многоугольника равноудалены от точки – точки пересечения биссектрис его углов. Значит, около такого многоугольника можно описать окружность, причем эта окружность единственная, так как она проходит через три точки (любые три вершины многоугольника), не лежащие на одной прямой.

Теорема доказана.

Итак, на данном уроке мы доказали, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Uztest.ru .

Рекомендованное домашнее задание

1. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 211, контрольные вопросы № 3, 5, 6, 7, 2. Учебник Атанасяна (см. список литературы), глава 12, §1, п. 106.