02. Окружность

Признаки подобия треугольников

Два треугольника называются подобными, если у них все углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. При решении задач пользуются признаками подобия треугольников.

Первый признак (по двум углам):

если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 1):

Второй признак (по двум сторонам и углу между ними): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны (рис. 2):

Третий признак (по трём сторонам): если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 3):

Подобие в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом, . В треугольнике проведем высоту СН и примем стандартные обозначения – катеты ; гипотенуза с; острые углы , проекции катетов на гипотенузу  и . Легко заметить, что углы между высотой и катетами также равны и (рис. 4).

Из подобия треугольников , и вытекают важнейшие соотношения:

 (катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу);

 (высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу).

Свойства окружности

Рассмотрим важнейшую комбинацию: окружность и точка – точка может лежать на окружности, внутри окружности или вне ее.

Точка на окружности.

Рассмотрим окружность с центром в т. . На окружности отметим произвольную точку
А. Если из точки провести две хорды и , то получим вписанный в окружность угол . Говорят, что угол опирается на дугу . Дуга имеет не только длину, но и градусную меру. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла (рис. 5).

Теорема о вписанном угле гласит, что если градусная мера угла равна , то градусная мера угла (а, соответственно, и дуги ) равна . (Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).

Следствия:

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (рис. 6):

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр – прямые (рис. 7).

Теорема. Пусть дана точка на окружности, через которую проходят касательная и хорда, причём угол между касательной и хордой равен . Тогда дуга, стягиваемая хордой, имеет градусную меру , а любой вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен (рис. 8).

Точка внутри окружности.

Пусть дана окружность и некоторая точка внутри неё.

Теорема. Произведение отрезков хорд, проходящих через точку , есть величина постоянная для данной точки:

. (рис. 9)

Доказать данное утверждение можно, если соединить точки и , затем точки и , и воспользоваться подобием полученных треугольников.

Точка вне окружности.

Дана окружность и точка , лежащая вне этой окружности. Из точки проведены касательная к окружности и две секущие и . – длина секущей, – ее внешняя часть.

Теорема. Произведение длины секущей на свою внешнюю часть есть величина постоянная для данной точки М, лежащей вне окружности, и равная квадрату отрезка касательной, проходящей через точку :

 (рис. 10).

Чтобы доказать эту теорему, следует построить хорды и и, опираясь на свойства угла между касательной и хордой, доказать подобие треугольников и, откуда и вывести требуемое соотношение (рис. 11).

Заключение

Итак, на уроке мы повторили признаки подобия треугольников, рассмотрели свойства окружности, рассмотрели различные способы расположения точки относительно окружности и вспомнили свойства окружности, которые являются следствиями подобия треугольников.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru

2. Viripit.ru

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 654, 655, 664, 666.

2. Доказать все приведенные в уроке утверждения!