08. Площадь круга

Определение площади круга

Кругом с центром в точке O, радиуса Rназывается множество всех точек плоскости, расположенных от точки O не более чем на расстояние R.

Вот круг (рис. 1): 

Точка M принадлежит кругу (находится внутри круга):

OM < R.

Точка N принадлежит кругу, находится на границе круга: ON = R.

Точка А вне круга: OA > R.

Укажем на стандартную ошибку, из этого определения уберем слово «всех» и получим совершенно другую фигуру (рис. 2):

На рис. 2 изображено множество точек, которые расположены нужным образом от точки O. Точка M расположена от точки O на расстояние OM < R.

Таким образом, точность формулировок важна, но важна и точность понятий.

Перейдем к понятию площади круга.

Мы знаем, что такое площадь прямолинейных фигур, треугольников, многоугольников и т. д., – это результат сравнения с эталоном, например с квадратом размерами 1 см на 1 см.

Заменим круг какой-нибудь фигурой, например вписанным правильным n-угольником.

Пусть площадь круга будет равна площади n-угольника

При мы увидим, что многоугольник почти полностью заполняет весь круг, существует предел площади n-угольника. Этот предел мы и примем за площадь круга (S).

– площадь вписанного -угольника.

При любом фиксированном, даже очень большомвесь многоугольник не занимает весь круг (рис. 3).

n-угольник, вписанный в круг– это часть многоугольника.

– криволинейный треугольник, это часть круга, они не равны друг другу.

– сторона n-угольника

В пределе треугольниксовмещается с криволинейным треугольником.

Подытожим наше наблюдение.

– площадь круга.

Многоугольник стремится заполнить весь круг, его площадь возрастает, и поскольку сам многоугольник ограничен описанной окружностью, то и его площадь ограничена площадью этой окружности (рис. 5).

Рис. 5. Примногоугольник не занимает весь круг

Задача 1

Дано:

Радиус R круга.

Найти: площадь круга S.

Решение

Вписываем в данный круг правильный -угольник,– его площадь.

Проводим окружность с центром в точке O и радиусом. Пусть– площадь этого круга, круг вписан в многоугольник, значит, его площадь меньше, чем площадь этого многоугольника:

В результате получаем оценку:

Треугольник, выразим катет:

Отсюда следует, что приокружность с центром в точке O и радиусом, т. е. вписанная в многоугольник окружность, стремится к окружности с центром в точке O и радиусом R.

Значит:

Вместопишем S:

Ответ:.

Вывод

На данном уроке мы рассмотрели понятие площади круга, при помощи вписанного в круг -угольника доказали формулу для вычисления площади круга, решили типовые задачи с использованием этой формулы.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. 2mb.ru (Источник).

2. Urokimatematiki.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1. Как изменится радиус окружности, если площадь круга:

2. а) увеличить в k раз

3. б) уменьшить в k раз

4. Задание 2. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника с катетами a и b.

5. Задание 3. Длина окружности цирковой арены равна 41 метр. Найдите диаметр и площадь арены.