05. Построение правильных многоугольников

Введение

По традиции, напомним здесь основное определение: выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны (Рис. 1.) .

В этот многоугольник всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Центры обеих окружностей совпадают (точка на Рис. 1). Также на рисунке приведены радиусы описанной ( ) и вписанной () окружностей.

В ходе предыдущих уроков мы выяснили, что базовую роль для описания свойств многоугольников играют биссектрисы его углов и серединные перпендикуляры к его сторонам. Именно на умении строить биссектрисы углов и серединные перпендикуляры отрезков и основывается методика построения правильных многоугольников. Вкратце напомним, как построить серединный перпендикуляр отрезка. 

Дан отрезок (Рис. 2). Необходимо построить его серединный перпендикуляр.

1. Проведем окружность с центром в точке произвольного радиуса (на рис 2. изображены только фрагменты этой окружности);

2. Аналогично проведем окружность с центром в точке того же радиуса (Рис. 2);

3. Точки  ипересечения построенных окружностей соединяем отрезком;

4. Этот отрезок и будет серединным перпендикуляром отрезка . Докажем это утверждение. Треугольники и равны по трем сторонам, откуда следует равенство углов при вершине . Треугольники и также равны по трем сторонам, кроме того, все указанные треугольники – равнобедренные. – биссектриса , а следовательно, она же является и высотой,  и медианой данного треугольника. Аналогичные рассуждения проводятся и для отрезка . Таким образом, получаем, что  и делит его пополам. Что и требовалось доказать.

Умение строить серединный перпендикуляр отрезка позволяет решать многие задачи. Вот пример одной из них: построить квадрат, если дана его диагональ (Рис. 3.).

Построение:

1. На произвольной прямой откладываем отрезок , равный .

2. По указанному выше алгоритму строим для отрезка серединный перпендикуляр (Рис. 3).

3. Находим точку пересечения серединного перпендикуляра с отрезком. Из этой точки на прямой откладываем отрезки .

4. Соединяем точки отрезками, как показано на Рис. 3.

5. В результате получаем квадрат с диагоналями и .

Задача решена.

Напомним и еще одно важное построение – построение биссектрисы угла.

Пусть дан угол (Рис. 4). Необходимо построить его биссектрису.

Построение:

1. Проводим окружность с центром в точке некоторого радиуса . На Рис. 4 эта окружность показана фрагментарно.

2. Находим точки и пересечения этой окружности со сторонами угла .

3. Строим окружность с центром в точке некоторого радиуса(Рис. 4).

4. Аналогично строим окружность с центром в точке и того же радиуса .

5. Находим точку пересечения этих окружностей .

6. Соединяем точки и   отрезком.

7. Полученный отрезок – биссектриса угла (это утверждение легко доказывается при учете равенства треугольников и ).

Построение закончено.

Важнейшим из правильных многоугольников является равносторонний треугольник.

Задача: построить правильный треугольник , сторона которого равна

Построение (Рис. 5):

1. На произвольной прямой выбираем точку  и при помощи линейки откладываем на этой прямой отрезок .

2. Строим две окружности одинакового радиуса – с центром в точке и с центром в точке (на Рис. 5 фрагменты окружностей показаны пунктиром). Для этого ножки циркуля с помощью линейки разводим на нужное расстояние.

3. Находим точку   пересечения этих окружностей и соединяем ее с точками и.

4. Получили искомый правильный треугольник . Задача решена.

Рассмотрим алгоритм построения правильного шестиугольника.

Задача: построить правильный шестиугольник со стороной  .

Построение (Рис. 6):

1. Для начала вспомним доказанное на предыдущих уроках свойство шестиугольника: длина его стороны равна радиусу описанной окружности: .

2. Построим окружность с центром в произвольной точке и радиусом .

Угол между ножками циркуля не меняем.

3. Поместив одну ножку циркуля в произвольную точки на окружности, при помощи второй ножки отметим на той же окружности точку и соединим ее с точкой . Получим первую сторону шестиугольника.

4. Повторив те же действия еще 4 раза, получим остальные вершины  искомой фигуры.

5. В результате получим – правильный шестиугольник с центром в точке .

Задача решена.

Следующая задача демонстрирует важный прием, необходимый при построении правильных многоугольников.

Удвоение числа сторон правильного многоугольника.

Задача.

Дан правильный n-угольник (Рис. 7). Построить правильный-угольник , т. е. правильный многоугольник с числом сторон вдвое большим, чем у исходного.

Построение:

1. Восстановим серединные перпендикуляры к двум соседним сторонам исходного многоугольника и найдем точку их пересечения (показаны пунктиром на Рис. 7).

2. Проведем окружность с центром в точке и радиусом, равным . Данная окружность пройдет через все вершины многоугольника, т. к. является описанной около него.

3. При помощи серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, опущенным из   точки , разделим все его стороны и все дуги окружности, заключенные между его соседними вершинами, пополам. Для этого достаточно просто опустить перпендикуляры из центра окружности на стороны и продлить их до пересечения с окружностью.

4. Точки пересечения серединных перпендикуляров с окружностью соединить с вершинами многоугольника   отрезками, как показано на Рис. 7.

5. Полученная фигура и будет искомым правильным многоугольником, число сторон которого вдвое больше числа сторон исходного многоугольника.

Задача решена.

На данном уроке было рассмотрено построение правильного многоугольника при помощи циркуля и линейки. Важно заметить, что не все правильные многоугольники могут быть построены таким образом.

Доказано, что так нельзя построить, например, правильный 7-угольник, а вот правильный 17-угольник можно построить этим способом.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7 – 9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7 – 11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Uztest.ru.

Рекомендованное домашнее задание

1. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 211, контрольный вопрос № 12.

2. Учебник Погорелова (см. список литературы),  стр. 212, задачи 14, 15.