03. Поворот. Задачи

Введение

Движение – отображение плоскости на себя, при котором расстояния между точками плоскости сохраняются.

Примеры движения: осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос.

Свойства движения: отрезок переходит в отрезок, угол переходит в равный ему угол, окружность переходит в окружность того же радиуса и т. п.

Пусть имеется некоторая выделенная точка О плоскости. Кроме того, рассмотрим произвольную точку М той же плоскости. Поворотом (обозначение –) относительно точки О, называемой центром поворота на Ðα (угол поворота) называется такое отображение плоскости на себя, при котором любая точка М плоскости переходит в такую точку М1 той же плоскости, что ОМ = ОМ1 и, кроме того,  ÐМОМ1 = α (Рис. 1).

Докажем, что поворот является движением.

Доказательство (Рис. 2).

Рассмотрим точки М и N плоскости, переходящие при повороте соответственно в точки М1 и N1 той же плоскости.

Рассмотрим треугольники ОМN и ОМ1N1. В этих треугольниках ОМ = ОМ1 и ОN = ОN1.                     ÐМОN = α – ÐМОN1; ÐМ1ОN1 = α – ÐМОN1, следовательно, ÐМОN = ÐМ1ОN1. Таким образом, указанные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда вытекает равенство отрезков МN = М1N1. Поскольку точки М и N  выбирались нами произвольно, можно утверждать, что при повороте длины отрезков сохраняются.

Теорема доказана.

Нам необходимо научиться использовать рассмотренный тип движения.

Задача (аналогичная № 1167 из учебника Атанасян, см. список литературы)

Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC поворотом вокруг точки А на угол 60° против часовой стрелки (∆АВС).

Решение (Рис. 3).

При повороте точка А перейдет в саму себя. Точки В и С перейдут в точки В1 и С1 соответственно. Углы треугольника и длины его сторон, в соответствии с общими свойствами движения, сохранятся (все обозначения сторон и углов даны на Рис. 3).

Построения при повороте крайне простые: при помощи циркуля построить дугу окружности радиусом, равным длине стороны треугольника (АС или АВ), с центром в точке А, далее при помощи транспортира отложить на дуге угол 60° и отметить точку-образ (В1 или С1). Соединив полученные точки-образы отрезками, можно получить искомый треугольник А1В1С1, являющийся образом треугольника АВС (∆АВС = ∆А1В1С1).

Задача (Атанасян, № 1168).

Точка О является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг точки О на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.

Решение.

Сделаем рисунок (Рис. 4).

Точка О пересечения биссектрис правильного треугольника является центром этого треугольника. Следовательно, вершины треугольника при повороте вокруг точки О будут «отрисовывать» дуги окружности, описанной около ∆АВС. Легко показать, что ÐВОС = ÐСОА = ÐАОВ = 120°. Следовательно, при повороте, точка А перейдет в точку В, точка В перейдет в точку С и точка С  перейдет в точку А (напомним, что угол поворота считается положительным, если поворот происходит против часовой стрелки). Таким образом,∆АВС = ∆АВС .

Задача решена.

Задача. Дана прямая, на которой заданы точка О1  и точка О2  и даны точки А и В, лежащие по разные стороны от этой прямой. Причем имеют место равенства расстояний: О1А = О1В, О2А = О2В.

Доказать, что точки А и В симметричны относительно указанной прямой.

Решение (Рис. 5).

Для доказательства требуемого в задаче утверждения нам необходимо доказать, что АМ = МВ и АВ^ О1О2 .

Построим окружность радиусом О1А с центром в точке О1 и окружность радиусом О2А с центром в точке О2.

Рассмотрим некоторую осевую симметрию с осью О1О2. При таком отображении полуокружности, расположенные в верхней полуплоскости, перейдут в соответствующие полуокружности, расположенные в нижней полуплоскости относительно оси симметрии. При этом точка пересечения «верхних» полуокружностей – точка А – перейдет в точку пересечения «нижних» полуокружностей – точку В. То есть точка В симметрична точке А относительно рассматриваемой прямой. Задача решена.

В заключение разберем еще один простое применение понятий симметрии.

Дан параллелограмм ABCD.

Доказать, что точка пересечения его диагоналей является его центром симметрии.

Напоминание: фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Решение (Рис. 6).

На рисунке точка О –  точка пересечения диагоналей параллелограмма. В силу свойств параллелограмма AО = ОC и BО = ОD, а также любой отрезок, концы которого лежат на противоположных сторонах и проходящий через точку О (например, отрезок MN на Рис. 6), делится в этой точке пополам. Это означает, что при осуществлении центральной симметрии относительно центра, расположенного в точке О, все точки, принадлежащие сторонам, перейдут в точки, также принадлежащие сторонам. Таким образом, параллелограмм перейдет сам в себя, т. е. точка О – центр симметрии.

Подведем итоги: на данном уроке мы ввели в рассмотрение новый вид отображения плоскости на себя – поворот, доказали, что он является движением и решили ряд задач, которые помогут лучше понять изучаемую тему.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункты 116, 117.