01. Координаты вектора
21 мин
02. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число в координатах
20 мин
03. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
14 мин
04. Простейшие задачи в координатах
21 мин
05. Применение метода координат в решении простейших задач
20 мин
06. Применение метода координат в решении задач
23 мин
07. Уравнение окружности
18 мин
08. Решение задач по теме «Уравнение окружности»
1 ч 13 мин
09. Уравнение прямой
56 мин
10. Решение задач по теме «Уравнение прямой»
28 мин
11. Решение задач по темам «Уравнение окружности» и «Уравнение прямой»
24 мин
12. Решение задач по темам «Уравнение окружности» и «Уравнение прямой». Более сложные случаи
17 мин
05. Применение метода координат в решении простейших задач
Видео доступно по абонементу
Обзор основных сведений и формул для векторов в координатах
В координатной плоскости любой вектор однозначно разлагается по векторам и :
.
Числа и определяются единственным образом и называются координатами вектора в данной системе координат (рис. 1).
.
Если есть точка , то вектор с началом в начале координат, который называется радиус-вектором точки , имеет те же самые координаты: .
Основываясь на этом, мы рассмотрели 3 стандартные задачи:
Определение координат середины отрезка по координатам концов отрезка и (рис. 2).
Определение длины вектора с координатами .
.
Определение длины отрезка по координатам концов и .
.
Теперь применим эти сведения для решения задач.
Решение задач с использованием метода координат
Задача 1.
Дан треугольник с вершинами , и . Найти медиану (рис. 3).
Дано: ; ; ; .
Найти: .
Решение:
Найдем координаты точки как середины отрезка :
; ; .
Найдем длину отрезка :
.
Ответ: .
Задача 2.
Вершина параллелограмма лежит на положительной полуоси , вершина имеет координаты ; . Найти координаты точки ; сторону ; диагональ .
Решение:
Построим данный параллелограмм в прямоугольной системе координат (рис. 4).
Так как , то координаты точки . Пусть координаты точки .
Так как - параллелограмм, то ; .
Координаты равны, следовательно,
Итак, ;
, так как вектор имеет те же координаты, что и точка .
, так как координаты вектора совпадают с координатами точки .
.
Ответ: ; ; .
Задача 3.
Найти периметр треугольника, если известны координаты его вершин (рис. 5).
Дано: ; ; ; .
Найти: периметр .
Решение:
Воспользуемся формулой вычисления расстояния между точками.
Найдем длину :
.
Найдем длину :
.
Найдем длину :
.
Найдем периметр:
.
Ответ: .
Заключение
Мы сделали обзор сведений о координатах, о простейших задачах и применили эти сведения для решения конкретных геометрических задач.
Список литературы
Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Mathematics.ru (Источник).
Домашнее задание
Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 943, 945, 947.