06. Применение метода координат в решении задач

Метод координат

Метод координат заключается в следующем:

1. Вводится система координат ().

2. Определяются координаты нужных точек.

Находится ответ с помощью применения известных решений стандартных (простейших) задач.

Простейшие задачи в координатах (напоминание)

Вспомним простейшие задачи.

Любой вектор раскладывается по координатным векторам: ; ; числа  и  – координаты вектора.

Если даны точка  и точка  (см. рис. 1), то можно найти координаты вектора : ; и расстояние между точками  и : .

Если известны координаты вектора, то можно найти его длину:

; .

Если известны координаты точек  и , то можно найти координаты середины отрезка  (см. рис. 2):

Решение задач

Разберем, как действует метод координат в конкретных задачах.

Задача 1.

Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. рис. 3).

Доказательство:

Нужно доказать, что .

Для доказательства воспользуемся методом координат:

1. Нарисуем еще раз параллелограмм и введем удобную систему координат (см. рис. 4).

2. Найдем координаты интересующих нас точек.

Пусть длина стороны  – , тогда длина стороны  – тоже  и координаты точки .

Пусть координаты точки .

Найдем координаты точки из равенства векторов:

;

;

Итак,

3. Найдем квадраты длин нужных нам сторон:

Проверим верно ли равенство :

Что и требовалось доказать.

Задача 2.

Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна , а основание равно Найти две другие медианы треугольника (см. рис. 5).

Дано: , , , , , .

Найти: .

(Медианы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой, поэтому достаточно найти одну из них.)

Решение.

Применим метод координат:

1. Введем удобную систему координат (см. рис. 6).

(Медиана  в равнобедренном треугольнике является и высотой.)

2. Найдем координаты нужных нам точек: ; ; (так как  – медиана) .

Найдем координаты точки  (середины ):

3. Найдем длину :

Ответ: .

Решение задачи 2 геометрическим методом

Для сравнения методов рассмотрим решение задачи 2 геометрическим методом.

Дано: , , , , , .

Найти: .

Решение:

1. Продлим медиану  за точку  на расстояние, равное  (см. рис. 7).

Получаем точку .  – параллелограмм, так как диагонали точкой пересечения делятся пополам ( – так как  – медиана, а  – по построению).

2. По свойству параллелограмма: . Так как , .

Найдем квадрат стороны  из треугольника  по теореме Пифагора: . Но , тогда , а .

Ответ: .

Заключение

Итак, как мы видим, координатный метод имеет четкий алгоритм и не требует дополнительных построений (кроме введения осей координат). А геометрический метод, напротив, требует дополнительных построений, однако они являются стандартными. Для решения задач полезно владеть обоими методами.

Метод координат будет широко использоваться и впоследствии.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2.  Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7 – 11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет:

1. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Учебник Атанасяна (см. список литературы), №№ 955, 956, 958.