04. Простейшие задачи по теме раздела

Тема урока, введение

Тема урока: «Скалярное произведение векторов. Решение простейших задач». На этом уроке мы повторим теорию скалярного произведения векторов и решим простейшие задачи на скалярное произведение.

Вспомним определение скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

.

В этом определении есть понятия вектор, длина вектора, угол между векторами. Напомним определения этих понятий.

1. Вектор, или направленный отрезок, – это такой отрезок, для которого указано начало – одна из граничных точек, и конец – другая граничная точка.

Вектор может быть отложен и от другой точки.

Векторы  и  равны, если .

2. Вектор может быть задан в координатной плоскости через свои проекции на оси координат.

Кординаты вектора – это коэффициенты его разложения по координатным векторам  и .

, причем это разложение единственно.

Например, , , .

3. Координаты концов вектора и координаты вектора.

Дано: , .

Найти: Координаты вектора .

Решение.

.

Ответ: .

4. Угол между векторами.

, - угол между векторами.

Сравним с углом между прямыми.

Углом между прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

-  тупой;

- острый.

- угол между прямыми.

5. Скалярное произведение векторов  и .

а) .

Скалярное произведение векторов – это числовая характеристика взаимного расположения векторов.

В частности, .

б) Рассмотрим проекции векторов друг на друга.

, , .

в) Еще раз рассмотрим скалярное произведение векторов  и :

;

;

.

Угол между векторами .

Угол между прямыми , т. к. угол между прямыми не может быть тупым.

Решение задач на скалярное произведение векторов

Рассмотрим конкретные задачи.

Задача. Дано:

, , , .

Найти:

1. , ; 

2. , .

Решение:

Проиллюстрируем решение рисунком:  

1. ; . 

Ответ: ; .

2. ; .

Ответ: ; .

В следующей задаче используем результаты предыдущей.

Задача. Дано:

; .

Найти:

1. ; 

2. .

Решение.

1. .

Ответ: .

2.

.

Ответ: .

В следующей задаче снова будут использованы те же векторы.

Задача. Дано: ; .

Найти: проекцию вектора  на вектор .

Решение.

, но , значит,

Ответ: .

Задача. Дано: ; .

Найти:

1. Координаты вектора и длину вектора ;

2. Скалярное произведение векторов  и .

Решение.

1. ; .

Ответ: ; .

2. .

Ответ: .

Заключение

Итак, мы повторили теорию и решили задачи по теме «Скалярное произведение векторов». Следующий урок мы посвятим решению задач по этой важной теме.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1045, 1047.