01. Координаты вектора
21 мин
02. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число в координатах
20 мин
03. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
14 мин
04. Простейшие задачи в координатах
21 мин
05. Применение метода координат в решении простейших задач
20 мин
06. Применение метода координат в решении задач
23 мин
07. Уравнение окружности
18 мин
08. Решение задач по теме «Уравнение окружности»
1 ч 13 мин
09. Уравнение прямой
56 мин
10. Решение задач по теме «Уравнение прямой»
28 мин
11. Решение задач по темам «Уравнение окружности» и «Уравнение прямой»
24 мин
12. Решение задач по темам «Уравнение окружности» и «Уравнение прямой». Более сложные случаи
17 мин
04. Простейшие задачи в координатах
Видео доступно по абонементу
Основные сведения о координатах вектора (напоминание)
Любой вектор разлагается по векторам и однозначно:
; .
Если известно начало вектора – точка и конец вектора – точка , то координаты вектора то есть из координат конца нужно вычесть координаты начала.
Через координаты векторов мы умеем находить их сумму, разность и произведение на число.
Пользуясь всем этим, рассмотрим три опорные задачи:
Координаты середины отрезка
Задача 1. Координаты середины отрезка.
Дано: отрезок ; ; ; – середина .
Найти: координаты точки .
Решение (рис. 1):
Построим векторы , и .
Найдем вектор :
Другим путем:
.
Сложим:
.
Так как – середина отрезка и векторы и противонаправлены, то , следовательно .
Найдем координаты вектора .
Координаты вектора совпадают с координатами точки , координаты вектора совпадают с координатами точки .
;
.
Координаты вектора совпадают с координатами точки , следовательно .
Определение длины вектора
Задача 2. Вычисление длины вектора по его координатам.
Дано: вектор .
Найти: длину вектора .
Решение (рис. 2):
Задан вектор , отложим его от начала координат, получим вектор с началом в точке и концом в точке .
- это проекция на ось ; - это проекция на ось .
По теореме Пифагора .
Если вектор задан своими координатами, то его длина находится по формуле:
.
Формула расстояния между точками
Задача 3. Вычисление расстояния между точками.
Дано: точки и .
Найти: расстояние между точками.
Решение (рис. 3):
Рассмотрим вектор . Из координат конца вычтем координаты начала:
.
Теперь нужно найти длину этого вектора.
Для этого отложим его от начала координат (рис. 4).
Получаем точки и .
; .
Раз векторы равны, то координаты точки равны координатам вектора .
.
(По формуле, полученной в задаче 2).
Решение задач
Задача 4.
Дано: отрезок , точка и точка - середина .
Найти: координаты точки .
Решение (рис. 5):
Каждая координата точки равна полусумме соответствующих координат точек и :
Находим и :
Ответ: .
Задача 5.
Дано: ; .
Найти: расстояние
Решение (рис. 6):
.
Ответ: .
Заключение
Итак, мы рассмотрели три простейшие опорные задачи и применили их для решения конкретных примеров. Эти опорные задачи далее будут использоваться при решении более сложных задач.
Список литературы
Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Домашнее задание
Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 936; 938; 940.