01. Треугольники: признаки равенства и подобия треугольников, их основные элементы и замечательные точки
13 мин
02. Прямоугольный треугольник
22 мин
03. Обобщённая теорема Пифагора
16 мин
04. Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде
24 мин
05. Прямоугольный треугольник. Вычислительные задачи
22 мин
06. Окружность
23 мин
07. Четыре замечательные точки треугольника
22 мин
08. Вписанные и описанные окружности
20 мин
09. Четырёхугольники. Параллелограмм
21 мин
10. Соотношения между сторонами и углами треугольника
23 мин
11. Дополнительные сведения о медиане треугольника
23 мин
12. Сравнение длин
24 мин
13. Точка внутри и вне окружности
26 мин
14. Площади четырёхугольников
18 мин
15. Метод координат
35 мин
16. Метод масс в геометрии
16 мин
17. Удвоение медианы
12 мин
04. Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде
Видео доступно по абонементу
Введение
Для начала рассмотрим задачи о вписанной и описанной окружности в прямоугольный треугольник.
Радиус описанной окружности
Около любого треугольника можно описать окружность.
Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров треугольника.
Серединный перпендикуляр отрезка есть ГМТ (геометрическое место точек), равноудаленных от конца отрезка.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Покажем это:
Дополним прямоугольный треугольник до прямоугольника.
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. Точка О равноудалена от концов отрезка и является точкой пересечения серединных перпендикуляров.
Радиус вписанной окружности
В любой треугольник можно вписать окружность.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
Точка пересечения биссектрис есть ГМТ (геометрическое место точек), равноудаленных от сторон треугольника.
Доказательство:
/у каждого из этих треугольников высота есть радиус/◾
Напомним формулы для площади треугольника:
Теперь мы можем вычислить радиус вписанной окружности произвольного треугольника по формуле:
вычисляя S любым удобным способом.
Задача о нахождении радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник:
Дан прямоугольный треугольник. Найти радиус вписанной окружности.
1. Проведем биссектрисы углов и получим центр вписанной окружности.
2. Из точки O центра вписанной окружности опускаем перпендикуляры на стороны и получаем точки касания M, K, L. Через них и пройдет вписанная окружность.
3. Отметим равные отрезки касательных.
Напомним: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
В нашем случае:
Заметим, что CMOK – квадрат. Т.к. OM = OK = r, то и CM = CK = r.
4). Запишем связь между касательными и сторонами.
Сложим равенства:
Еще один факт для касательных произвольного треугольника
Аналогично рассуждая, получаем:
Подведение итогов
Список литературы
1. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы, 9 класс (Источник).
Домашнее задание
Задачи с пунктами С30, С31 (задачник Зив Б.Г.).
"