01. Треугольники: признаки равенства и подобия треугольников, их основные элементы и замечательные точки
13 мин
02. Прямоугольный треугольник
22 мин
03. Обобщённая теорема Пифагора
16 мин
04. Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде
24 мин
05. Прямоугольный треугольник. Вычислительные задачи
22 мин
06. Окружность
23 мин
07. Четыре замечательные точки треугольника
22 мин
08. Вписанные и описанные окружности
20 мин
09. Четырёхугольники. Параллелограмм
21 мин
10. Соотношения между сторонами и углами треугольника
23 мин
11. Дополнительные сведения о медиане треугольника
23 мин
12. Сравнение длин
24 мин
13. Точка внутри и вне окружности
26 мин
14. Площади четырёхугольников
18 мин
15. Метод координат
35 мин
16. Метод масс в геометрии
16 мин
17. Удвоение медианы
12 мин
05. Прямоугольный треугольник. Вычислительные задачи
Видео доступно по абонементу
Введение
Мы рассмотрели основные геометрические закономерности, которые действуют в прямоугольном треугольнике.
Кроме общих геометрических закономерностей, в этом уроке мы решим конкретные задачи.
Задача 1
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущена высота на гипотенузу.
Найти длины отрезков, на которые делится гипотенуза, если ее длина равна 17, а длина высоты равна 4.
Решение:
Воспользуемся одной из теорем о средних:, где
Кроме этого, нам известно, что
Получаем систему:
Решение системы (по обратной теореме Виета): x, y являются корнями квадратного уравнения:
, корни для которого легко подбираются:
Ответ: 1, 16
Задача 2
В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3:2, а высота делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 2 больше другого. Найти длину гипотенузы.
Решение:
Применим теорему о среднем для катета a:
Применим эту же теорему для второго катета:
Получаем систему:
Следовательно,
Ответ: 5,2
Задача 3
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 8, а радиус вписанной окружности равен 3. Найти радиус описанной окружности.
Решение:
Отметим центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис).
Опустим перпендикуляры на стороны, получим точки касания, проведем вписанную окружность.
Отметим равные отрезки касательных.
4. Запишем связь между касательными и сторонами.
В нашем случае: r = 3, а один из катетов равен 8. Пусть, например, a = 8. Тогда
5. Применим теорему Пифагора:
Вспоминаем, что радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике – это половина гипотенузы.
Ответ: 8,5
Задача 4
В треугольнике ABC проведена медиана CM, и она равна половине противоположной стороны AB. Найти угол при вершине C.
Доказательстворавнобедренный равнобедренный
Нам нужно найти
Сумма углов в треугольнике ABC равна, т.е.т.е. ◾
Список литературы
1. Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 (Источник).
Домашнее задание
Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: Упражнения 572-577.
"