02. Прямоугольный треугольник

Введение

В данном уроке мы рассмотрим прямоугольный треугольник. Поговорим о тригонометрических функциях острого угла и выражении катетов через них. Сформулируем основные теоремы о средних геометрических в прямоугольном треугольнике.

Тригонометрические функции острого угла

Рассмотрим прямоугольный треугольник.

Вспомним определения,

(отношение противолежащего катета к гипотенузе)

(отношение прилежащего катета к гипотенузе)

(отношение прилежащего катета к противолежащему катету)

(отношение прилежащего катета к противолежащему катету)

Заметим, что для любого прямоугольного треугольника справедливо равенство:

Как следствие, из определений можно выразить катет по формулам:

Теоремы о средних геометрических в прямоугольном треугольнике

Проведем высоту из вершины прямого угла.

Заметим, что (т.к., аналогично

Т.е. высота, проведенная из вершины прямого угла, рассекает прямой угол на углыи

Заметим, что образовалось 3 прямоугольных треугольника, которые имеют по равному острому углу.

Такие треугольники будут подобными (прямоугольные треугольники подобны, если они имеют по равному острому углу).

.

* Замечание: когда мы выписываем соотношение подобия для треугольников, вершины первого треугольника мы можем записать в произвольном порядке. В нашем случае– то есть в порядке следования углов:

Вершины следующих подобных треугольников записываем в том же порядке следования углов. *

Назовем(проекция катета AC на гипотенузу AB)(проекция катета BC на гипотенузу AB)

Из подобия треугольников вытекают 3 теоремы:

Доказательство теорем

Докажем 1 теорему:

Рассмотрим косинусы угладляи◾

Докажем 3-ю теорему:

Рассмотрим тангенсы угладляи◾

Пример

Тогда

Окончание

 Список литературы

1. Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 (Источник).

Домашнее задание

Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: Упражнения 572-577.