05. Разложение вектора по двум неколлинеарным. Скалярное произведение

Определение коллинеарных векторов в координатах

Мы подробно изучили две операции с векторами:

1. сложение векторов (и обратная ей операция – вычитание векторов);

2. умножение вектора на число.

Мы знаем, что в результате умножения вектора  на ненулевое число  получится вектор , коллинеарный исходному (см. рис. 1). Если же умножить  на число , то получим ноль-вектор  (см. рис. 2) (вектор нулевой длины и не имеющий направления, т. е. коллинеарный любому вектору, в том числе исходному вектору ).

Вывод: при умножении вектора на число всегда получается вектор, коллинеарный исходному (см. рис. 3).

Понятно, что два коллинеарных вектора  (см. рис. 4) всегда связаны соотношением:

Действительно, раз векторы параллельны (можно сказать, что их направления совпадают с точностью до знака), то они отличаются только длиной. А умножение вектора на число как раз меняет длину вектора, не меняя его направление (опять же, с точностью до знака).

Как найти это число ?

Чтобы из вектора длины  получить сонаправленный вектор длины , нужно разделить его на  (получим вектор длиной ) и умножить на . Т. е. исходный вектор нужно умножить на :

В произвольном случае вектор  нужно умножить на число , и мы получим сонаправленный ему вектор  (см. рис. 5).

Если вектор  направлен противоположно, то умножать нужно на отрицательное число (см. рис. 6).

Получаем эквивалентное определение коллинеарных векторов:

Перепишем это определение в координатах, используя то, что для векторов:

Получим:

Или, говоря другими словами – векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

Пример 1. Коллинеарны или нет следующие пары векторов?

1. и

2.  и

3.  и

Решение.

Мы знаем, что векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

Поэтому алгоритм проверки пары векторов на коллинеарность прост: найти отношения их соответствующих координат – если они равны, то векторы коллинеарны, иначе – нет. Более того, если отношение координат (число ) положительное, то векторы сонаправлены, а если отрицательное – противоположно направлены.

Проверяем первую пару векторов:

Координаты пропорциональны, коэффициент пропорциональности  положительный, значит, векторы сонаправлены.

Проверяем вторую пару векторов:

Векторы противоположно направлены.

Проверяем третью пару векторов:

Координаты не пропорциональны – векторы не коллинеарны.

Ответ: ,,.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Как видим, умножение вектора на число не дает возможности получить вектор с другим направлением. Действительно, как быстро ни беги из центра поля к угловому флажку, к воротам не прибежишь.

Но если у нас есть два неколлинеарных вектора, то наши возможности получения векторов сильно возрастают. Например, если мы можем двигаться только в двух направлениях – на север и на восток (и противоположным к ним), то все равно сможем из точки  добраться в любую точку  на местности (см. рис. 7).

Сложим два неколлинеарных вектора  и  (см. рис. 8) (подумайте сами, почему важно условие неколлинеарности). Неважно, как мы это делаем, методом треугольника или параллелограмма (см. рис. 9).

Очевидно, что полученный вектор  не коллинеарен ни одному из них. Хотя бы по той причине, что диагональ четырехугольника не параллельна ни одной его стороне или в треугольнике ни одна сторона не параллельна никакой другой.

Если же теперь менять пропорционально длину обоих векторов  и , то вектор суммы тоже изменит длину в такое же количество раз. Умножим оба вектора на , вектор суммы тоже умножится на  (см. рис. 10):

А если длины векторов  и  менять непропорционально, то вектор суммы, кроме длины, начнет менять и свое направление.

Умножим вектор  на , а вектор  оставим без изменений. Вектор  суммы имеет другие длину и направление (см. рис. 11).

Умножим вектор  на , а  – на . Получим вектор  с новой длиной и новым направлением (см. рис. 12).

Во всех случаях говорят, что вектор разложен по векторам  и . Коэффициенты перед  и  называют коэффициентами разложения.

Появляется предположение, что, умножая два неколлинеарных вектора на некоторые числа и потом суммируя, можно получить вообще любой вектор. Или, иначе говоря, любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам.

Это в самом деле так. Посмотрим, как это можно доказать.

Теорема

Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Пусть даны два неколлинеарных вектора  и . Докажем, что произвольный вектор  можно разложить по этим векторам (см. рис. 13).

Совместим все три вектора в одном начале и достроим рисунок до параллелограмма (см. рис. 14).

Вектор  является суммой двух векторов, один из которых коллинеарен вектору , а второй – вектору (см. рис. 15).

Но тогда они представимы в виде  и , а сам вектор:

Т. е. мы доказали, что вектор  можно разложить по векторам  и :

Наше рассуждение строилось на том, что вектор  не коллинеарен ни , ни . В противном случае мы не смогли бы построить параллелограмм.

Значит, случай коллинеарности одному из этих векторов нужно рассмотреть отдельно. Если вектор  коллинеарен вектору , то (см. рис. 16):

Но тогда это можно записать как , что тоже является разложением по векторам  и , но один из коэффициентов разложения равен нулю. Аналогичная ситуация для случая, когда вектор  коллинеарен вектору  (см. рис. 17):

Итак, вектор  всегда можно разложить по векторам  и . Докажем, что это разложение единственно.

Пусть есть два разложения  по векторам  и :

Вычтем из одного равенства другое:

Пусть :

Откуда:

Можем разделить, т. к. предположили, что , т. е. деления на ноль не будет. Или, по-другому:

Тогда:

А это равносильно следующему:

Но, по условию, векторы неколлинеарны – получили противоречие, значит:

Аналогично можно доказать, что  (попробуйте сделать это самостоятельно).

Но тогда получается, что:

Значит, разложение вектора  по векторам  и  существует и единственное.

Теорема доказана.

Может показаться, что мы доказали что-то принципиально новое. Но, на самом деле, мы уже давно пользуемся этой теоремой, даже не подозревая об этом. Действительно, мы только что доказали, что любой вектор  на плоскости можно однозначно представить в следующем виде для неколлинеарных векторов , (см. рис. 18):

Или можем переписать это же утверждение так: любому вектору  можно поставить в соответствие пару чисел . Ничего не напоминает? Фактически мы доказали, что любая пара неколлинеарных векторов задает на плоскости систему координат (см. рис. 19).

Коэффициенты  и  – это координаты вектора  в данной системе координат, или, по-другому, проекции вектора  на соответствующие оси координат:

Пара векторов , называется базисом данной системы координат (см. рис. 20).

Что же тогда можно сказать о привычной для нас декартовой системе координат? Это частный случай такой системы координат, которая задается двумя единичными взаимно перпендикулярными векторами, которые обычно обозначают  и  (их еще называют ортами). Такой базис называется ортонормированным (это слово состоит из двух: «ортогональный» – векторы перпендикулярны и «нормированный» – их длины равны ) (см. рис. 21).

Несложно увидеть, что для любого вектора  пара чисел  будет являться его координатами в привычном для нас понимании. Например:

В дальнейшем мы чаще всего будем пользоваться именно декартовой системой координат и не будем использовать векторы  и , а, как и раньше, будем писать только координаты векторов.

Почему именно декартовой системой координат? Оказывается, основное ее преимущество – это прямой угол между базисными векторами. Этот факт существенно упрощает вычисления (в этом мы убедимся в конце сегодняшнего урока). Но зачем вообще нужно раскладывать векторы по двум базисным векторам?

При решении различных задач у нас может возникать большое количество векторов, а работать с  или  векторами довольно сложно и неудобно. В физике часто возникают ситуации, в которых нужно сложить силы, которые действуют на тело, чтобы получить математическую модель задачи (см. рис. 22):

Но направления этих сил могут быть самыми разными – работать со всеми сразу очень неудобно. Тем более что мы знаем: любой вектор можно выразить через два базисных. Получаем идею решения таких задач: ввести систему координат, выразить все силы через базисные векторы и свести математическую модель к системе, состоящей из двух уравнений (см. рис. 23).

Это стандартный способ решения задач – свести ее к эквивалентной задаче (или нескольким задачам), которые мы уже умеем решать. Например, движение мяча под углом к горизонту мы заменяем эквивалентной комбинацией двух движений: по вертикали – свободное падение, по горизонтали – равномерное движение (см. рис. 24).

Решение задачи по физике

Рассмотрим классическую задачу из курса физики: санки съезжают с горки (известен коэффициент трения, угол наклона горки, нужно найти ускорение) (см. рис. 25).

На рисунке изображены силы, действующие на санки – сила тяжести , сила нормальной реакции опоры  и сила трения . Мы знаем, что, по следствию из второго закона Ньютона:

С другой стороны, равнодействующая всех сил, которые действуют на тело:

Но как сложить три вектора, направленных в разные стороны? Не самая простая задача. Поэтому в физике обычно поступают так: вводят систему координат, рассматривают проекции сил на каждую из осей (их сумма с учетом знаков должна равняться соответствующей проекции равнодействующей силы) (см. рис. 26):

Почему так? Теперь мы знаем, почему так можно делать. Действительно, если  и  – единичные векторы осей  и , то все векторы можно выразить через них (см. рис. 27).

Т. к. разложение каждого вектора по двум неколлинеарным единственно, то, как мы уже доказывали, коэффициенты при  и при  соответственно справа и слева должны быть равны:

Сила трения направлена в отрицательном направлении – появляется знак «минус»:

Сила тяжести расписывается как сумма своих проекций на оси:

Вектор ускорения:

Подставим все в исходное уравнение:

Получаем уже знакомую нам систему уравнений:

Конечно, каждый раз выписывать разложение через базисные векторы при решении подобных задач – сложно и громоздко, поэтому их обычно опускают, записывая просто равенство проекций на соответствующие оси (именно так вы делаете на уроках физики).

Скалярное произведение векторов

Физика вообще часто выступает поставщиком задач для математики. В седьмом классе на уроках физики мы изучили понятие механической работы. Если под действием некой силы тело перемещается, то работа силы определяется как произведение силы на перемещение (см. рис. 28):

Но сила и перемещение – это векторы. Т. е. чтобы определить понятие работы, нужно ввести операцию умножения векторов друг на друга. Причем результатом должно стать число, ведь работа – скалярная величина. Такая операция называется скалярным произведением (существует и другая операция – векторное произведение, т. е. в результате умножения двух векторов получается вектор, а не число, но эту операцию в рамках школьной программы не рассматривают).

Если два вектора сонаправлены, то скалярное произведение – это произведение их модулей:

Если противоположно направлены, то:

Поэтому в седьмом классе мы и ограничивались только задачами, в которых сила и перемещение действовали вдоль одной прямой – чтобы заменить произведение векторов произведением их длин.

А как быть, если сила и перемещение действуют не вдоль одной прямой? Вы сами не раз тащили санки за веревку. Каждый раз сила была направлена под углом к перемещению (см. рис. 29).

Ситуация отличается от предыдущей тем, что вектор силы направлен под углом к вектору перемещения. На что это влияет? Может быть, чтобы найти работу, снова достаточно перемножить модули векторов?

Рассмотрим силу , в результате действия которой тело переместилось на вектор . И введем произвольную прямоугольную систему координат. Совместим начало координат, а также начала векторов  и  (см. рис. 30).

Мы уже знаем, что действие силы  можно заменить эквивалентным одновременным действием двух сил  и , направленных вдоль осей координат. При этом перемещение  тоже можно заменить эквивалентными перемещениями  и  вдоль каждой из осей (см. рис. 31).

Мысленно можно составить эквивалентную задачу: вместо человека, который с силой  переместил тело на вектор , действовали два человека: один действовал с силой  переместил тело на вектор , а второй, соответственно, с силой  переместил тело на вектор  (см. рис. 32).

Понятно, что работу, которую совершил тот один человек, равна сумме работ этих двух. Получаем:

Но векторы в произведениях в правой части сонаправлены, и для них мы уже знаем, что скалярное произведение равно произведению длин (с точностью до знака, но мы рассмотрим пока частный случай, когда векторы сонаправлены):

Но можно заметить, что:

Несложно убедиться, что, независимо от сонаправленности или разнонаправленности векторов, всегда будет получаться, что: , где  – координаты векторов.

Можем сформулировать определение скалярного произведения векторов через их координаты:

Из этого определения можно получить, в частности, следующий важный факт:

Собственно, его мы могли получить и раньше, из формулы для скалярного произведения сонаправленных векторов.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов:

 и

 и

 и

Решение.

Ответ: ;;.

Мы получили определение скалярного произведения для векторов, заданных в координатах. Но иногда мы будем работать с векторами как с геометрическими объектами, и хочется уметь вычислять скалярное произведение в этом случае.

Рассмотрим два вектора с общим началом и вектор их разности  (см. рис. 33).

Для треугольника  можно выписать известную нам теорему косинусов:

Или в эквивалентном виде:

Используя доказанное выше свойство, преобразуем левую часть:

Приравняем левую и правую часть теоремы косинусов в таком виде, получаем:

Откуда:

Получили еще одну формулу для вычисления скалярного произведения векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.

Физическая интерпретация формулы для вычисления скалярного произведения

Вернемся к примеру с санками, которые мы тащим под углом к земле. Давайте разберемся. Рассмотрим декартову систему координат (см. рис. 34).

Разложим векторы  и  по векторам  и :

Понятно, что за проделанную работу по перемещению тела отвечает проекция вектора силы на ось , т. е. . Если увеличивать угол , то эта проекция будет уменьшаться (на бытовом уровне: сила все меньше будет участвовать в перемещении, т. е. совершать меньшую работу при том же перемещении) (см. рис. 35).

Если сила будет направлена вертикально вверх (), то понятно, что она не будет участвовать в перемещении. Работа должна быть равна .

Если сила направлена под углом , то она уже фактически препятствует перемещению, т. е. совершает отрицательную работу () (см. рис. 36).

Получаем, что работа будет равна:

Для острого угла :

Для тупого угла :

Получаем общую формулу:

Итак, используя полученную формулу для скалярного произведения , можем сделать выводы:

1. Если векторы сонаправлены, , т. е. угол , то  и формула приобретает вид (см. рис. 37):

2. Если векторы противоположно направлены, , т. е. угол , то  и формула приобретает вид (см. рис. 38):

3. Если векторы перпендикулярны, , т. е. угол , то  и скалярное произведение таких векторов равно  (см. рис. 39):

4. Если угол  острый, то скалярное произведение положительно  (см. рис. 40), если угол  тупой, то скалярное произведение отрицательно  (см. рис. 41).

Используя эти выводы, удобно применять скалярное произведение для выяснения перпендикулярности векторов. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

Это следует из того, что .

Пример 3. Выяснить, являются ли перпендикулярными векторы:

 и

 и

Решение.

Найдем их скалярное произведение:

Только во втором случае векторы перпендикулярны (см. рис. 42).

Ответ: не являются, являются.

Заключение

И в конце урока вернемся к тому, о чем говорили ранее: почему декартова (прямоугольная) система координат удобнее любой другой. Дело в том, что в ней скалярное произведение базисных векторов будет равно  (т. к. они перпендикулярны) (см. рис. 43):

Поэтому, когда мы выражаем векторы через базисные, а затем выполняем с ними различные действия, многие получившиеся выражения будут просто обнуляться, что, согласитесь, упрощает вычисления.

Список литературы

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.

2. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В./Под ред. Садовничего В. А. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Домашнее задание

1. Среди векторов ,,найти пару коллинеарных.

2. Даны векторы ,,. Записать разложение вектора  по координатным векторам  и .

3. Даны точки ,,,. Найти скалярное произведение векторов  и .