06. Решение треугольников. Более сложная задача

Рассмотрение причины двух решений в задачах ( на решение треугольников)

Рассмотрим задачу, в которой заданы две стороны треугольника и угол не между ними, в этом случае число решений зависит от конкретных числовых данных.

Число решений может быть два:

предположим, чтоВ треугольнике может быть уголили(рис. 1)

Задача 1 (решение треугольника для первого случая)

Дано: треугольник(рис. 2)

Найти: углы β, γ; сторону с

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов

Видим, что, следовательно, угол β существует и существует два угла.

Рисунок 3 иллюстрирует наличие двух углов β.

Треугольник ABC (рис. 2) имеет определённый радиус описанной окружности.

По теореме синусов:

Рассмотрим два случая:

1.(рис. 4) 

Тогда угол:

Следовательно,

Далее используем теорему синусов:

Для первого случая треугольник решён.

Ответ:

Задача 1 (решение треугольника для второго случая)

(рис. 2)

Тогда угол:

Следовательно,,

Ответ:

Геометрическая иллюстрация решения задачи 1

Задача решена, получены два ответа. Дадим геометрическую интерпретацию ответа.

1. В окружности радиусом R = 6 проведём хорду a = 6, получим две точки B и C, которые являются вершинами искомого треугольника (рис. 5). Этот треугольник вписан в окружность с центром в точке O.

2. Проведём окружность с центром в точке C и радиусом b = 8.

3. Радиус второй окружности – 8, он меньше, чем удвоенный радиус первой окружности. Значит, существуют две точки пересеченияэтих окружностей.

4. Вписанные в окружность углы с вершинамииодинаковые.

, так как треугольник BOC правильный

5. Получили два треугольникаи. Это и есть искомые треугольники. В них:,,– все заданные значения.

6. В треугольниках найдены точные значения искомых величин:

• треугольник:,,;

• треугольник,,.

Четвёртый признак равенства треугольников и его частный случай

Четвёртый признак  равенства треугольников и его частный случай

Также можно сделать замечание: угол явно не наибольший угол в заданном треугольнике ABC, а из четвёртого признака равенства треугольников знаем, что треугольники равны по двум сторонам и наибольшему углу (этот наибольший угол может находиться не между двумя сторонами). Отсюда частный случай четвёртого признака равенства треугольников: равенство прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе (прямой угол наибольший, он не лежит между катетом и гипотенузой).

[00:17:09 Разветвление: опорные факты из задачи 1]

Из задачи 1 можно выделить важные опорные факты.

1. Теорема о вписанном угле имеет важное следствие:

вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

(рис. 6)

Это означает, что из любой точки дугиотрезок BC = а виден под одним и тем же углом (α). Существуют также другие точки, с которых данный отрезок виден под этим же углом. Это точки на дуге. Таким образом, объединение этих двух дуг (исключая концы отрезка BC) даёт геометрическое место всех точек, с которых данный отрезок виден под данным углом.

2. Отрезок BC = a и противолежащий уголзадают семейство треугольников (). Эти треугольники часто не похожи друг на друга, но они имеют один и тот же элемент – радиус описанной окружности

3. Также у семейства этих треугольников есть ещё один общий элемент – отрезок(рис. 7), где точкаи– основание высот, опущенных из вершины B и вершины C. Для того чтобы в этом убедиться, попробуйте решить самостоятельно задачу:

Задан остроугольный треугольник ABC (рис. 7). В нём сторона,,и– высоты. Найти длину отрезка. (Указание: докажите подобие треугольникови).

4. Укажем ещё несколько общих элементов для семейства треугольников:

• AH, где H – ортоцентр (рис. 7);

• – радиус окружности, описанной вокруг треугольника(рис. 8);

– радиус окружности, описанной вокруг треугольника(рис. 8);

– радиус окружности, описанной вокруг треугольника, где J – точка пересечения биссектрис треугольника(рис. 8.1);

Данные опорные факты важны тем, что позволяют находить общие элементы у семейства треугольников, то есть решать более сложные задачи.

Завершение урока

На данном уроке мы решили более сложную задачу по теме «Решение треугольников» с использованием основных теорем синусов и косинусов и теоремы о площади треугольника.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков: А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия 7–9 кл. Учебник для общеобразовательных организаций – 2 – е изд. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Clck.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Учебник Погорелова А. В. (см. список рекомендованной литературы), стр. 179, задачи № 28, 29.

2. Учебник Антанасяна Л. С. (см. список рекомендованной литературы), стр. 262, задача 1025.