05. Решение треугольников (продолжение)

Суть типовых задач для решения треугольника

Вспомним, что каждый треугольник имеет 6 основных элементов (3 стороны и 3 угла). Любая тройка этих элементов полностью задаёт треугольник, если она включает хотя бы один линейный элемент. Суть типовых задач заключается в том, что задана тройка элементов, нужно найти остальные элементы. Используются теоремы синусов и косинусов.

Задача 1 с использованием теоремы косинусов

Дано: треугольник АВС, АВ = с = 3м, АС = b = 6м,(рис. 1)

Найти: а = ВС, β, γ

Решение:

Треугольник задан двумя сторонами и углом между ними, следовательно, он задан полностью. Можем найти его любой элемент.

По теореме косинусов найдём сторону a:

м

По теореме косинусов находим угол β:

Следовательно,. Выяснили, что треугольник прямоугольный. Угол прямой, угол, поэтому.

Ответ:  

Задача 2 с использованием теоремы синусов

Дано: треугольник АВС,,, (рис. 2)

Найти:

Решение:

Найдём угол γ:

По теореме синусов:

Найдём сторону b:

Аналогично находим сторону а, при этом учтём, что.

Ответ:

Найдены точные значения, если нужно найти приближённые значения, то по таблицам находим и, и синусы углов. Можно упростить выражение для b, зная, что.

Задача 3 с использованием теоремы косинусов

Дано: треугольник АВС,(рис. 3)

Найти: углы α, β, γ (приближённо)

Решение:

Углы α и β найдём по теореме косинусов.

Найдём угол γ.

Ответ:

Вычислительные задачи по теме урока

В следующей задаче треугольник является частью прямоугольника, то есть для решения используются свойства и прямоугольника, и треугольника.

Задача 4

Дано: прямоугольник ABCD,,(рис. 4)

Найти: площадь прямоугольника ABCD ()

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно,Диагонали прямоугольника рассекают его на 4 равновеликих треугольника:

Докажем это.

 , так как треугольники AOB и COD равны., так как треугольники AOD и BOC равны.

Если, тогда

Учтём, что 

Следовательно,

Аналогично докажем, что

Следовательно,

Получили, что, следовательно,. Найдя площадь треугольника АОВ, найдём площадь прямоугольника.

Следовательно

Ответ:  

Задача 5

Дано: треугольник АВС,,,(рис. 5)

Найти: (точно или приближённо)

Решение:

Мы знаем в треугольнике два угла, поэтому находим третий:

По теореме о смежных углах

Из треугольника ADC:

Следовательно

Углы все найдены. Уголтупой, поэтому основание D высоты находится на луче СВ за точкой В. Объясним этот факт.

Предположим обратное:

Точка D лежит на луче ВС (является внутренней точкой стороны ВС).

Рассмотрим треугольник ADB (рис.6). В нём, один угол прямой,следовательно,, такой треугольник не существует. Следовательно, точка D не может быть точкой луча CB.

На рисунке 5 видим 2 прямоугольных треугольника ADB и ADC. Катет у них один AD = 3, углы все известны.

Из треугольника ADC найдём гипотенузу b. Знаем, что катет, лежащий напротив угла, равен половине гипотенузы. Следовательно,

Из треугольника ADB найдём гипотенузу АВ = с.

Найдём СВ = а по теореме синусов

Ответ:

Подведение итогов урока

На данном уроке мы рассмотрели типовые задачи по теме «Решение треугольников».

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).

2. Clck.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Стороны треугольника – 5 м, 6 м, 7 м. Найдите косинусы углов треугольника.

2. У треугольника две стороны равны 5 м и 6 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.

3. Найдите медианы треугольника в задаче 1.

4. Объясните, как найти расстояние от точки А до недоступной точки, зная расстояние АС и углыи