12. Решение задач по темам «Уравнение окружности» и «Уравнение прямой». Более сложные случаи

Основные опорные факты

Напомним основные опорные факты по теме урока.

1. Уравнение окружности:

Q(a; b) – центр, r – радиус.

1. - уравнение прямой.

3. Длина отрезка(рис. 1):

Решение задач

Задача 1.

Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в 2 раза больше расстояния от точки В, если длина АВ=3.

Это задача на нахождение геометрического места точек (ГМТ).

Решение:

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В лежала на оси Ох, и определим координаты данных нам точек (рис. 2):

а) Сначала рассмотрим частную задачу. Пусть искомые точки лежат на прямой АВ, тогда (рис. 3):

Точкаделит отрезок АВ в заданном отношении внутренним образом.

Точкаделит отрезок АВ в заданном отношении внешним образом

Частная задача решена.

б) Рассмотрим общий случай, когда точка М – любая точка координатной плоскости, пусть ее координаты M(x;y) (рис. 4).

По условию:

Выделяем полный квадрат:

Мы получили уравнение окружности, значит искомое ГМТ – окружность с центром в точке C(4; 0) радиуса 2 (рис. 5):

Ответ:

Задача 2.

Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых, если

Решение:

Вводим удобную систему координат и определяем координаты нужных нам точек (рис. 6):

Нужные нам расстояния

По условию, тогда

- вертикальная прямая (рис. 7).

Ответ:

Задача 3.

Как известно, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит окружность и при том только одна.

Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки:

Решение:

Запишем уравнение окружности:

Окружность проходит через три точки, поэтому координаты каждой из них удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты данных точек в уравнение окружности и получим систему:

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2), а затем из уравнения (1) уравнение (3). Получим систему:

Найдемиз уравнения (1) исходной системы:

.

Ответ:.

Рассмотрим шуточную задачу.

Задача 4.

Вокруг земного шара по экватору натянули веревку длиной l. Если длину этой веревки увеличить на 1 м, то пролезет ли под ней мышь?

Дано: l;м.

Найти: АВ (рис. 8).

Решение:

Ответ: да, мышь пролезет.

Заключение

Итак, мы рассмотрели решение более сложных задач на уравнение окружности и уравнение прямой. С этими уравнениями далее мы будем встречаться неоднократно.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 982, 985, 1002(б).