11. Решение задач по темам «Уравнение окружности» и «Уравнение прямой»

Решение задач

Задача 1.

Напишите уравнение окружности, проходящей через точкии, если ее центр лежит на прямой.

Решение (рис. 1):

Запишем уравнение окружности:

.

Требуется определить три числа: a, b и r.

Центр окружности лежит на прямой, значит, если абсцисса центра равна a, то ордината равна.

Точки A и B лежат на окружности, значит, их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точек в уравнение и получим систему:

Правые части уравнений равны, значит, равны и левые части:

;

;

;

(рис. 2).

Ответ:

Задача 2.

Написать уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что диагонали лежат на осях координат. Написать уравнение окружности, вписанной в этот ромб.

Решение (рис. 3):

Определим координаты вершин ромба (рис. 4):

Требуется написать уравнения прямых  AB, BC, CD, AD. эти прямые наклонные, их уравнения будем искать в виде

1. Составим уравнение прямой BC.
Из рисунка видно, что
Или составим систему, подставляя координаты точек B и C в уравнение прямой:

или

2. Составим уравнение прямой AD.

угловые коэффициенты равны, ордината пересечения с осью Oy равна; 
уравнение прямойили

3. Составим уравнение прямой AB.

или

4. Составим уравнение прямой CD.угловые коэффициенты равны, ордината пересечения с осью Oy равна

уравнение прямой или

5. Теперь требуется написать уравнение окружности, вписанной в ромб. Для этого нужно определить координаты центра и радиус. Координаты центра известны – О(0;0). Радиус найдем как высоту прямоугольного треугольника AOB, проведенную к гипотенузе (рис. 5).

Уравнение окружности, вписанной в ромб

Задача 3.

1. Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если известно, чтои абсцисса точки М равна 5.

2. Напишите уравнение окружности, описанной около треугольника, образованного прямой АВ и осями координат.

3. Напишите уравнение вписанной в этот треугольник окружности.

Решение (рис. 6):

1. Запишем уравнение прямой АВ в виде, подставим координаты точек А и В в уравнение и получим систему:

уравнение прямой АВ:

Точка М принадлежит прямой АВ и ее абсцисса равна 5, значит, ее ордината равна 7 (рис. 7).

Ответ: 7.

2. Прямая АВ пересекает оси координат в точках P и Q. Координаты этих точек легко определить, подставляя в уравнение прямой x=0 или y=0 (рис. 8).

Имеем прямоугольный треугольник OPQ. Требуется записать уравнение окружности, описанной около треугольника OPQ. Центр окружности лежит в середине гипотенузы: 

Найдем радиус, для этого в уравнение окружности, подставим координаты точки О(0;0), так как она лежит на окружности:

Уравнение окружности, описанной около треугольника:
Ответ:

3. Теперь требуется написать уравнение окружности, вписанной в, в этом треугольнике катеткатет, гипотенуза(рис. 9).

Определим координаты центра и радиус искомой окружности. Радиус можно найти по формуле:

В силу симметрии радиус окружности лежит на прямой(рис. 10).

Тогда координаты центра, тогда уравнение окружности, где

Ответ:, где

Дополнительный вопрос.

Принадлежит ли точкавписанной окружности?

Решение:

Если точка C принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точки С в уравнение,
гдеи проверим, получится ли верное равенство:

;

;

;

- верно.

Ответ: точка С принадлежит окружности.

Заключение

Итак, мы решили серию задач по темам «Уравнение окружности» и «Уравнение прямой». На следующем уроке мы продолжим решение подобных, но уже более сложных задач.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Составьте уравнение прямой, которая проходит через центры двух заданных окружностей:
   и

2. Запишите уравнение окружности, центр которой лежит на прямойи которая проходит через точки