06. Решение задач по теме раздела. Продолжение 1

Тема урока, введение

Тема урока: «Решение задач по теме раздела. Продолжение 1». На этом уроке мы кратко повторим теорию и будем решать задачи с использованием метода координат.

Напоминание основных формул в координатной форме

Напомним, что вектор в координатной плоскости задается своими координатами. Координаты вектора – это коэффициенты разложения вектора по координатным векторам  и .

, ; .

, ; .

Напомним основные формулы в координатной форме.

; ; .

Скалярное произведение векторов:

;

;

.

Косинус угла между векторами:

.

Напомним, как найти координаты вектора через координаты его концов:

; ; .

И напомним, что координаты середины отрезка определяются так:

.

Проекции вектора.

;

;

.

;

.

Проекция – это число, положительное или отрицательное в зависимости от знака .

Решение задач на скалярное произведение векторов методом координат

Рассмотрим решение задач координатным методом.

Задача. В треугольнике  , точки , , – середины отрезков , , соответственно.

Найти:

1. Длины отрезков и ;

2. ; ; 

3. Проекцию вектора  на вектор  и проекцию вектора  на вектор ;

4. ; ;

5. Проекцию вектора  на вектор  и проекцию вектора  на вектор .

Будем решать задачу методом координат.

1. Найти  и . 

Решение:

а) Для решения задачи координатным методом сначала на координатной плоскости требуется ввести систему координат. Введем систему координат, как показано на рисунке, тогда многие точки будут лежать на осях координат и, следовательно, иметь одну из координат, равную 0.

б) Найти координаты точек.

Найдем их из условия задачи с учетом выбранной системы координат.

; ; ;

; ; .

в) Найти координаты векторов.

; ; ; .

г) Найти длины векторов ; .

;

.

Ответ: Вернемся к длинам отрезков: ; .

2. Дано: ; .

Найти: ; .

Решение:

;

.

Ответ: ; .

3. Дано: ; ; .

Найти:

а) ;

б) .

Решение: Напомним, что .

а) ;

б) .

Ответ: ; .

4. Дано: ; ; ; .

Найти:

а) ;

б) .

Решение:

а) ;

б) .

Ответ:

а) ;

б) .

1. Дано: ;  ; .

Найти:

а) ;

б) .

Решение:

а) ;

б) .

Ответ:

а) ;

б) .

Заключение

Итак, мы повторили теорию, напомнили основные формулы в координатах, решили ряд задач на скалярное произведение векторов с использованием метода координат. На следующем уроке мы продолжим решение задач по теме раздела.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1050, 1051.