07. Решение задач по теме раздела. Продолжение 2

Тема урока, введение

Тема урока: «Решение задач по теме раздела. Продолжение 2». Здесь мы кратко повторим теорию и решим задачи на скалярное произведение векторов. В число задач включены доказательства некоторых известных теорем с помощью векторов.

Напоминание основных формул, связанных со скалярным произведением векторов

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам  и .

, пара чисел , – единственна.

; и по правилу параллелограмма . 

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам можно использовать в решении задач следующим образом:

1. Выбрать удобную пару неколлинеарных векторов  и ;

2. Выразить через них искомые (или иные промежуточные) векторы;

3. Использовать формулы и получить ответ.

Основные формулы:

;

; ;

;

, , .

Основные формулы в координатах.

;

; ; 

;

;

;

.

Решение задач на скалярное произведение векторов

Задача 1. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

Дано: – ромб.

Доказать: .

Доказательство:

Пусть , , , тогда

Умножим скалярно эти равенства: ;   и .

Задача 2. В , , .

Найти длину медианы .

Решение:

1. Пусть , , тогда , , , .

2. ; .

Ответ: .

Задача 3. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Дано: –­­ параллелограмм.

Доказать: .

Доказательство:

Пусть , , тогда , ;

.

Переходя к длинам отрезков .

Задача 4. Доказать перпендикулярность векторов:

1.  и ;

2.  и .

Доказательство.

, если .

1. ;

2.

Задача 5. При каком значении перпендикулярны векторы:

1. и ;

2.  и ?

Решение.

1. ; ; .

Ответ: при .

2. ; ; .

Ответ: при .

Задача 6. Дано: , , , .

Доказать: – прямоугольник.

Доказательство. Чтобы доказать, что – прямоугольник, нужно доказать, что – параллелограмм и .

1. ;

2. .

Задача 7.

Дано: ; ; .

Найти: Значение , при котором векторы  и  перпендикулярны.

Решение:

1. ; ;

;

2. ;

;

;

;

;

;

.

Ответ: .

Заключение

Итак, мы повторили теорию и решили серию задач на скалярное произведение векторов. На следующем уроке мы рассмотрим правильные многоугольники.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1052, 1053, 1069.