05. Решение задач по теме раздела

Повторение

Вспомним определение: скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними: .

Как видим, это некоторая характеристика взаимного расположения векторов, потому что участвует угол между ними: .

Рассмотрим несколько частных случаев.

1) Ненулевые векторы  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: .

Доказать это несложно: чтобы произведение равнялось , один из множителей должен равняться . Так как векторы ненулевые, то нулю должен равняться косинус угла между ними: .

2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора:

Проекция вектора

Скалярное произведение векторов тесно связано с проекцией векторов друг на друга. Вспомним определение: проекция вектора  на вектор () – это произведение длины вектора  и косинуса угла между векторами.

Аналогично можно записать определение проекции вектора  на вектор : .

Подчеркнем, что проекция – это число, знак которого зависит от знака  (если – тупой угол, то  – отрицательный и проекция – отрицательное число).

Скалярное произведение можно записать с помощью проекции векторов.

Отсюда можно выразить проекции  и :

;

Таким образом, если мы научимся вычислять скалярное произведение, то сможем находить проекции векторов друг на друга.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Разложим вектор  по двум неколлинеарным векторам  и . Векторы  и  неколлинеарные, значит, между ними ненулевой угол (то есть они не лежат на одной прямой или на параллельных прямых).

Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным

Любой вектор  разлагается по неколлинеарным векторам  и  следующим образом: , причём существует единственная такая пара чисел  и  (такое разложение единственное).

Доказательство

Если из точки  опустить прямые, параллельные  и , то получим вектор , который коллинеарен вектору , тогда , и вектор , который коллинеарен вектору , тогда  (Рис. 1).

По правилу параллелограмма или треугольника получаем следующее выражение:

Несложно доказать, что такое разложение единственно методом от противного. Пусть таких разложения два: . Тогда .

Тогда  (если ), получили, что , но векторы  и  – ненулевые и неколлинеарные, получили противоречие. Если же , то . Так как вектор  не может быть нулевым, то . Как видим, в любом случае существует единственное разложение вектора по двум неколлинеарным.

В задачах мы будем использовать доказанную теорему следующим образом:

1) выбираем удобную пару векторов  и  ();

2) выражаем через них искомые (или другие нужные нам) векторы;

3) используем формулу и получаем ответ.

Решение задач

В правильном треугольнике  сторона равна , точка  – середина отрезка , точка  – середина отрезка  (Рис. 2).

Найти:

1) Выразить вектор  через векторы  и  .

2)  – ?

3)  – ?

4)  – ?

5) проекцию вектора  на вектор  () и проекцию вектора  на вектор  ().

Задача 1

Дано: , , , .

Выразить вектор  через векторы  и .

Решение

Для начала выразим вектор  через векторы  и .

Векторы  и  равны по длине и противоположны по направлению. Из этого следует, что .

Ответ: .

Задача 2

Дано: , , .

Найти:  – ?

Решение

Вспомним, что . Найдем скалярное произведение векторов  и :

Ответ: .

Задача 3

Дано: , , , , .

Найти:  – ?

Решение

Ответ: .

Задача 4

Дано: , , .

Найти:  – ?

Решение

Можно сделать вывод, что угол  – тупой, поскольку .

Ответ: .

Задача 5

Дано: , , .

Найти: проекцию вектора  на вектор  () и проекцию вектора  на вектор  ().

Решение

Ответ: ; .

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Домашнее задание

1. Дано: ; ; . Найти: .

2. Дано: ; ; . Какой из векторов перпендикулярен вектору ?

3.  и  – два ненулевых вектора. Найдите угол между ними, если:

а)

б)

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «matematikalegko.ru» (Источник)