08. Решение задач по теме раздела

Соотношение между сторонами и углами - теорема о площади треугольника, теорема косинусов, теорема косинусов

Здравствуйте.

Тема урока – «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Здесь мы кратко повторим теорию и рассмотрим серию типовых задач, нам поможет теорема о площади треугольника.

Повторение теории начнем с перечня основных теорем.

Вот треугольник , стандартные обозначения: вершина , угол , сторона ; вершина , , ; и третья вершина , угол , противолежащая сторона . Стандартные обозначения.

1)

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. Формула площади через синус угла.

Далее очень важная теорема синусов и следствие из нее.

2)

относится к синусу противолежащего угла так же, как относится к синусу противолежащего угла так же, как относится к синусу своего противолежащего угла . В этом суть теоремы синусов. И далее есть очень важное следствие. Все эти отношения равны , где – это радиус описанной окружности. Это удивительное следствие. Чтобы найти радиус, оказывается, достаточно знать сторону и синус противолежащего угла.

И, наконец, теорема косинусов.

Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Применительно к с имеем:

3)

Таковы основные теоремы.

В основных теоремах фигурирует синус и косинус угла треугольника.

Но угол треугольника может быть тупым.

Поэтому напомним определение синуса и косинуса для угла .

Сначала имеем общий рисунок, на котором имеется полуокружность, радиус 1, угол , острый для начала, точка соответствует этому углу.

У точки есть две координаты , так как они зависят от угла a, им мы подставили индекс .

Можно дать два определения синуса.

Треугольник прямоугольный, гипотенуза 1, синусом угла называется отношение катета, противолежащего к гипотенузе. То есть это , т.е. ордината.

Косинусом называется отношение катета, прилежащего к гипотенузе, т.е. , т.е. это абсцисса точки .

Итак, либо это отношение катета к гипотенузе, либо это ордината и абсцисса точки.

А теперь давайте возьмем тупой угол. Но, тем не менее, есть точка .

У нее есть две координаты, есть абсцисса, ордината.

По второму определению будем считать, что , т.е. абсцисса точки, , т.е. ордината точки. Таким образом, распространили синус и косинус для любого угла от .

С помощью этого понятия мы можем любую точку зафиксировать своими координатами .

А именно, ; .

Таким образом, мы рассмотрели синус и косинус для любого угла от , вспомнили эти определения.

После сделанных напоминаний приступим к решению конкретных задач.

Задача 1

Дано:

В : , прилежащий , другой прилежащий .

Требуется: решить этот треугольник, т.е. найти остальные углы и стороны, а именно, , сторону , которую мы обозначили как в, сторону , которую обозначили как . Стандартные обозначения здесь сохраняются.

Итак, дано, требуется найти и вот решение.

Треугольник полностью задан. Известна сторона и два прилежащих угла.

Решение:

После того, как мы найдем , все углы будут известны, а:

1)

Все углы известны. Можно использовать теорему синусов.

2) ; получили уравнение относительно а, решаем его , .

Таков синус . Он примерно равен 1, если грубо округлять, то получим 4 см. Итак, одна сторона найдена.

Дальше снова по теореме синусов можно найти сторону .

3) , , .

Дальше все-таки мы покажем, как можно находить синус .

Это косинус . Это небольшой угол, его величина почти 1.

Ответ: , , . Задача решена.

Треугольники входят в состав многих фигур, например, трапеций, параллелограммов. Поэтому решение треугольников позволяет решать задачи с этими фигурами. Проиллюстрируем сказанное следующей задачей.

Задача 2

Смежные стороны параллелограмма равны и , один из углов равен . Найдите диагонали параллелограмма.

Вот параллелограмм, вот его диагонали, стороны и , угол между ними, т.е. треугольник задан полностью. Стало быть, и параллелограмм задан полностью. Конкретно в параллелограмме известно:

Дано:

– параллелограмм, , , .

Найти: одну диагональ , вторую диагональ .

Решение:

1)

2)

Решение данной задачи для параллелограмма полностью основано на теореме косинусов для треугольника.

Диагональ входит в треугольник . В этом треугольнике, как мы говорили, известны две стороны и угол между ними. Значит, квадрат стороны – сумма квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними .

Квадрат известен, стало быть, и само известно .

Часть ответа есть, одна диагональ найдена из первого треугольника.

Вторая диагональ входит в треугольник . Используем свойство параллелограмма. Если это сторона , то эта сторона тоже . Противоположные стороны параллелограмма равны. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна . Стало быть, если это угол , угол при вершине .

Сразу заметим, что .

После этих замечаний применяем теорему косинусов для треугольника : .

Учитываем знак, получаем .

Квадрат диагонали известен, значит, .

Задача решена.

Теорема косинусов для треугольника позволяет вывести важное метрическое свойство для параллелограмма.

Формулировка задачи.

Задача

Докажите: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Дано:

– параллелограмм.

, – его диагонали, , – стороны. Один угол , следовательно, другой угол .

Требуется доказать: .

Почему 2?

Потому что и ; и .

То есть сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Доказательство:

найдем из треугольника , т.е. выпишем теорему косинусов для этого треугольника.

найдем из треугольника , для нее выпишем теорему косинусов.

Выписываем

Минус на минус уничтожается, складываем два равенства.

, а эти члены уничтожаются.

Задача решена. Свойство доказано.

Мы видели, что свойство треугольника позволяет решать задачи для параллелограмма. И даже устанавливает свойство параллелограмма.

В следующей задаче, как мы увидим, наоборот.

Теперь выведенное свойство параллелограмма позволяет решать задачи для треугольника. Формулировка задачи.

Задача

Найти медиану треугольника , если , , .

Итак, есть треугольник, стандартные обозначения сторон: против вершины ; против вершины ; против вершины .

– середина , –медиана , таково ее обозначение.

Даны три стороны, найти медиану.

Важный методический прием, который можно выразить следующими словами. Медиана любит, чтобы ее продлили до параллелограмма.

Что это означает?

Это означает, что проведем , получим точку и четырехугольник. Надо сначала доказать, что это параллелограмм, чтобы воспользоваться всем большим количеством свойств этого параллелограмма.

Доказываем, в этом четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, этот четырехугольник параллелограмм. А раз это параллелограмм, то воспользуемся свойством параллелограмма.

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон .

Получили уравнение для искомой медианы .

В результате получаем ответ .

Задача решена.

В следующей задаче используется теорема о площади треугольника.

Задача

Докажите:

1) Медиана рассекает треугольник на 2 равновеликих треугольника. Равновеликих, значит, имеющих одинаковую площадь, равную площадь.

2) Три медианы рассекают треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Обсудим задачу. Треугольник .

, , – середины соответствующих сторон. Значит, имеем одну медиану, вторую медиану, третью медиану.

Мы будем считать известными опорные свойства, связанные с медианами.

А именно, все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении считая от вершины. Это значит, в 2 раза больше чем и т.д. все остальные.

Итак, что требуется доказать?

Доказать:

Площадь треугольника есть от площади исходного треугольника . А площадь треугольника есть часть от площади исходного треугольника .

Доказательство:

Рассмотрим треугольник и . Каждый из них имеет сторону , высота одна и та же тоже, высота . Следовательно,

1) – это площадь всего треугольника.

Значит, площадь каждого из этих треугольников есть половина площади исходного треугольника.

Итак, медиана рассекает треугольник на два равновеликих, и это понятно, почему. Потому что каждый из треугольников имеет одну и ту же высоту. Одно и то же основание.

2) Площадь маленького треугольника . Мы возьмем, например, его.

Не важно, какой из 6 треугольников взять. Этот треугольник имеет угол между сторонами  и , – это медиана.

Значит, площадь этого треугольника есть .

После очевидных сокращений получаем, что отношение площадей есть .

Значит, площадь маленького треугольника (подробнее в видеоматериале).

Значит, площадь маленького треугольника есть  часть от площади исходного треугольника. Задача решена.

Итак, мы кратко повторили теорию и применили ее для решения конкретных задач. На следующем уроке мы рассмотрим угол между векторами.