08. Решение задач по теме «Уравнение окружности»

Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в точкеи радиусом R имеет вид:

 и– это координаты точки M, лежащей на этой окружности.

Задача 1

Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности, найдите центр окружности и ее радиус:

1. 

2.

Решение

1. 

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатамирадиус окружности – 

2. 

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

Воспользуемся формулой квадрата суммы и разности. В обеих скобках есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами; радиус окружности – 

Задачи с использованием метода выделения полного квадрата

Выясните, является ли данное уравнение уравнением окружности, найдите центр окружности и ее радиус:

1. 

2. 

Решение

1. 

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

Так каки(квадрат выражения больше или равен нулю), то выражение в левой части уравнения больше нуля. Следовательно, это уравнение не имеет решения и не является уравнением окружности. 

Доказать отсутствие решений у исходного уравнения можно также с помощью дискриминанта. Для этого рассмотрим это уравнение как квадратное относительнос параметром.

Мы получили квадратный трехчлен с такими коэффициентами:

- коэффициент при;

- коэффициент при;

- свободный член зависит от параметра.

Найдем корни данного уравнения по известной формуле:

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

Видно, что подкоренное выражение меньше нуля. А так как подкоренное выражение равно четверти дискриминанта, то и дискриминант будет отрицательным числом.

Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

2. 

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами; радиус окружности –

Задача 2

Напишите уравнение окружности, проходящей через три заданные точки.

Дано:

Найти: уравнение окружности, проходящей через данные точки.

Решение

Уравнение окружности задается тремя параметрами a, b, R, поэтому необходимо найти эти параметры.

Так как данные точки лежат на окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению искомой окружности. Подставим координаты точек в уравнение окружности  в общем виде:

:

:

:

Мы получили систему из трех уравнений относительно трех неизвестных:

Решим эту систему. Вычтем из третьего уравнения первое:

Разложим выражение как разность квадратов:

Подставляем найденное значениево все три уравнения системы:

Видно, что первое и третье уравнение одинаковые, поэтому оставляем только одно из них:

Вычтем из первого уравнение второе:

Подставим найденное значение a в уравнение системы:

Радиус больше нуля, следовательно:

Мы нашли необходимые три параметра, поэтому можно выписать искомое уравнение окружности:

Ответ: 

Типовые задачи на нахождение координат точек на окружности

Задача А

Дано:– центр окружности;– точка на окружности (см. Рис. 1).

Найти: уравнение окружности.

Решение

Уравнение окружности в общем виде:

Так как координаты центра окружности, то;Необходимо найти– радиус данной окружности.

Нам известны две точки, поэтому радиус определим по формуле:

Выпишем уравнение окружности:

Ответ: 

Уравнение окружности позволяет найти точки на окружности по одной из координат этих точек.

Задача Б

Дано:– уравнение окружности; ордината искомых точек равна 3 (см. Рис. 2).

Найти: точки окружности с ординатой, равной 3.

Решение

Уравнение данной окружности, следовательно, координаты ее центра, а радиус равен 5.

На рисунке видно, что необходимо найти координаты точеки(абсциссы данных точек).

Точкиилежат на окружности, поэтому их координаты удовлетворяют уравнению этой окружности. Для этих точек известно, что их ординаты равны 3. Получаем систему уравнений:

или 

Таким образом, координаты точки, а координаты точки 

Ответ:

Задача 3

Напишите уравнение окружности, проходящей через две заданные точки, если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

Дано:(см. Рис. 3).

Найти: уравнение окружности.

Решение

Уравнение данной окружности будет иметь следующий вид:

Нам необходимо найтии

1-й способ:

Так как окружность проходит через точкии, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставляем эти координаты в уравнение и получаем систему уравнений:

Правые части данных уравнений равны, поэтому равны и левые части:

Подставим данное значение в одно из уравнений системы:

Радиус – это положительное число, поэтому радиус равен:

Мы нашли все три параметра, задающих уравнение окружности, выпишем это уравнение:

2-й способ

Центр окружности лежит на серединном перпендикулярек отрезкуТеорема Пифагора для треугольниказадает искомое уравнение (см. Рис. 4).

В треугольнике: катет, гипотенуза, катетСогласно теореме Пифагора:

Таким образом, ордината центра окружности будет равна:

Выпишем уравнение окружности:

Ответ: 

Задачи на геометрическое место точек

Геометрический смысл уравнения окружности и неравенств, вытекающих из этого уравнения (см. Рис. 5)

 1. Уравнениюудовлетворяют только те точкииплоскости, которые лежат на окружности с центром в точке с координатамии радиусом 

2. Неравенствуудовлетворяют все точки, лежащие внутри окружности с центром в точке с координатамии радиусомТакое неравенство задает круг.

3. Неравенствозадает внешность круга (без окружности).

Задача А

Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите ее площадь.

Решение

1.

Выделяем полный квадрат:

Данное неравенство задает круг, ограниченный окружностью с центром в точке с координатами и радиусом(см. Рис. 6).

2. Площадь круга вычисляется по формуле:

Подставляем известное значение радиуса:

Ответ: 

Задача Б

Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите ее площадь.

Решение

Из данного неравенства видно симметрию по. То есть если– это одно из решений неравенства, то– тоже одно из решений (см. Рис. 7).

Таким образом, нам необходимо решить задачу при, а далее использовать симметрию относительно

Пусть, тогда. Следовательно, имеем неравенство без модуля:

Выделяем полный квадрат:

Данное неравенство задает круг, ограниченный окружностью с центром в точке с координатамии радиусом(см. Рис. 8).

Используем симметрию относительнои получаем искомое геометрическое место точек, то есть множество всех точек, которые удовлетворяют неравенству(см. Рис. 9).

2. У нас получились два одинаковых круга, поэтому для нахождения площади этой фигуры необходимо площадь круга умножить на 2:

Подставляем значение радиуса:

Ответ:.

Задача В

Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите ее площадь.

Решение

Из данного неравенства видно симметрию пои по, то есть допускается заменана,наТаким образом, если– это одно из решений неравенства, то и,,– тоже одно из решений (см. Рис. 10).

Нам необходимо решить задачу при,, а далее использовать симметрию относительнои

Пусть,, тогда,Следовательно, имеем неравенство без модуля:

 Выделяем полный квадрат:

Данное неравенство задает круг, ограниченный окружностью с центром в точке с координатамии радиусом(см. Рис. 11).

Используем симметрию относительноии получаем искомое геометрическое место точек, то есть множество всех точек, которые удовлетворяют неравенству(см. Рис. 12).

2. У нас получилось 4 одинаковых круга, поэтому для нахождения площади этой фигуры необходимо площадь круга умножить на 4:

Подставляем значение радиуса:

Ответ:

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Pm298.ru» (Источник)

2. Видеохостинг  «YouTube» (Источник)

Домашнее задание

1. Задачи 961, 970 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия, 7-9.

2. Доказать, что уравнениеявляется уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.