03. Решение задач

Введение

Напомним, угол  определяет единственную точку на единичной полуокружности. На Рис. 1 представлена единичная полуокружность, она описывается следующим образом:

, первое из этих выражений – это вся окружность, а второе ограничивает нас только верхней полуплоскостью.

Так вот, первую координату точки (абсциссу) назвали косинусом угла. Вторую координату – ординату – назвали синусом угла.

Вот основные определения:

.

;

Далее вспомним основное тригонометрическое тождество и основные формулы. Они здесь выписаны, проанализируем их и вспомним, откуда они получились.

, или

Во-первых, они получились из определений.

И во-вторых, из уравнения окружности.

Если есть , то ему соответствует единственная точка на окружности, и координаты этой точки назвали синусом угла и косинусом угла. Но это точка на единичной окружности, а любая точка единичной окружности подчиняется уравнению окружности ,

– это косинус, а – это синус, значит, для любого . Напомним, мы рассматриваем углы из отрезка .

Далее вспомним (Рис. 2) важные формулы для координат точки  

Итак, мы имеем синус, косинус, тангенс, котангенс для тупых углов в том числе, т. е. мы рассматриваем углы . Но при этом следует уметь вычислять и синус, и косинус таких углов. Этому помогают формулы приведения (Рис. 3). Напомним их:

при ;

Полезно вспомнить значение тригонометрических функций основных острых углов. Почему?

Только что мы видели, что по формулам приведения к ним сводятся значения тригонометрических функций тупых углов.

при ;

Итак, мы вспомнили важную таблицу для тригонометрических функций острых углов.

Рассмотренная таблица и формулы приведения позволяют решать многие типовые задачи.

Найти: , , , .

Решение: сначала формальное решение.

по формулам приведения, а по таблице .

Часть задачи решена:

.

Таким образом, мы нашли синус и косинус тупого угла .

Теперь посмотрим и проиллюстрируем этот факт на графике.

Строим единичную полуокружность, на ней угол . Напомним, что этот угол отсчитан против часовой стрелки от положительного направления оси .

Он высекает единственную точку на единичной полуокружности.

Выясняется, что оставшийся угол между отрицательной полуосью и лучом равен и еще один угол (между положительной полуосью и лучом ). Для угла синус совпадает с синусом , а косинус и косинус – это противоположные числа. Таким образом, для данной типовой задачи мы нашли синус и косинус и проиллюстрировали факт нахождения на чертеже.

Осталось найти тангенс и котангенс .

Формулы известны, находим:

;

Ответ:

, , ,

Задача решена.

Использованы и таблица, и формулы приведения.

Следующая типовая задача. Задана одна функция, найти другие функции или другую функцию.

Задача. Найдите , если , . Сначала формальное решение. Мы имеем основное тригонометрическое тождество, которое связывает между собой и синус, и косинус:

, откуда (Ответ).

Два ответа. Откуда они появились? Проиллюстрируем этот факт на чертеже (Рис. 5).

Единичная полуокружность, синус какого-то угла, неизвестно пока, какого, равна . Перпендикуляр к линии синусов (оси ординат), проведенный в точке , высвечивает две точки на единичной окружности. Двум точкам соответствуют два угла. Один угол , второй угол – .

Угол имеет , Угол имеет .

Сделаем такое примечание: значение определяет два угла – и , причем  (синусы равны одному и тому же числу), а косинусы – разные: ,

В следующей задаче, наоборот, задано значение , требуется найти значение . И понять, в чем разница между этой задачей и предыдущей.

Задача. Найдите , если , .

Как всегда, сначала формальное решение без чертежа:

по основному тригонометрическому тождеству , откуда , два ответа, но вспоминаем, что синус меняется в пределах , поэтому выбираем  и получаем единственный ответ.

Теперь проиллюстрируем все это на чертеже (Рис. 6).

Как обычно, на рисунке – единичная полуокружность, линия косинусов (ось абсцисс), на ней точки , , , а у нас абсцисса (косинус) равна .

Перпендикуляр высвечивает единственную точку на единичной окружности и единственный . Он здесь тупой. Синус тоже имеет единственное значение. Сформулируем такое примечание: значение определяет единственный . Задача решена.

Формулировка следующей задачи.

Задача. Найдите угол между лучом и положительной полуосью , если точка имеет координаты .

Чертеж (Рис. 7).

На рисунке – точка , и надо найти угол, который обозначим .

Известны координаты точки .

Используем специфику исходных данных при решении (Рис. 8). Рассмотрим треугольник .

Он прямоугольный, и катеты его известны. Первый катет равен , второй катет длиной .

Следовательно, , угол , искомый угол

Ответ получен, но мы продемонстрируем другой способ его получения.

Сначала найти длину отрезка , ведь координаты точки известны и координаты точки известны.

Далее по формулам для координат точки найти косинус угла, синус угла. В любом случае специфика конкретных исходных данных нам позволила мгновенно найти угол. Задача решена.

Итак, мы повторили теорию по теме «Синус, косинус, тангенс угла» и решили типовые задачи.

На следующем уроке мы рассмотрим теорему о площади треугольника.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 255, задачи 1013 – 1017.