01. Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество

На этом уроке вы вспомните, что такое синус, косинус, тангенс для острых углов, узнаете, что такое ; для углов  от до , рассмотрите простейшие свойства введённых функций и основные формулы, которые связывают между собой синус, косинус, тангенс и котангенс, причем для всех углов от до .

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия».

Как измерить высоту дерева ? Как найти расстояние  до недоступной точки , вершины дерева (рис. 1)?

Пусть задан треугольник  (рис. 2), ; – катеты, – гипотенуза, ; – угол.

Поместим единичную полуокружность в координатную плоскость (рис. 3).

1. Рассмотрим , в нем , где , т. е. это прямоугольный треугольник, угол – острый.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета гипотенузе :

Но гипотенуза , поэтому:

– ордината точки :

но , значит:

– абсцисса точки  единичной полуокружности.

Синус острого угла – это ордината, а косинус – это абсцисса точки  первой четверти.

Точка  имеет единственную пару координат , – это косинус , – синус .

Но абсциссу и ординату имеют все точки полуокружности.

2. Рассмотрим любой  (рисунок 4), из отрезка ; .

Его луч  определяет единственную точку  на полуокружности, ординату  назовем синусом , а абсциссу – его косинусом.

;

примем, что – это отношение  к :

Дано:

Найти: ;

Решение

(рис. 5)

По определению, точка с координатами есть точка  с координатами :

Примечание: т. к.  есть , то  не существует:

– не существует

Ответ: ; .

Задача решена.

Дано:

Найти: ; ;

Решение

(рис. 6)

Ответ: ; ; .

Задача решена.

Рассмотрим некоторые свойства единичной полуокружности (рис. 7).

Она проецируется на ось  в отрезок , а на ось  в отрезок , отсюда вывод:

В частности, косинус тупого угла отрицателен.

Уравнение единичной окружности с центром в точке  и :

Для

Именно это соотношение называют основным тригонометрическим тождеством.

Рассмотрим связь тангенса и косинуса.

Если , то из основного тригонометрического тождества имеем:

Такова связь между косинусом и тангенсом.

Пусть .

Тогда из основного тригонометрического тождества найдем связь между котангенсом и синусом:

Проверьте самостоятельно их справедливость с помощью единичной полуокружности.

Вывод

Мы вспомнили, что такое синус, косинус и тангенс для острых углов, узнали, что такое ;  для углов от  до , рассмотрели простейшие свойства введённых функций и основные формулы, которые связывают между собой синус, косинус, тангенс и котангенс, причем для всех углов от  до .

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Raal100.narod.ru

2. Yarik2000.narod.ru

3. Oldskola1.narod.ru

Домашнее задание

1. Чему равен , если ?

2. Найдите значение выражения .

3. Чему равен синус угла, если его косинус равен ?

4. Найдите .