02. Скалярное произведение векторов

Тема урока, введение

Тема урока: «Скалярное произведение векторов». На этом уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов и решим задачи на вычисление скалярного произведения.

Напоминание основных сведений о векторах

Напомним кратко основные сведения, которые мы знаем о векторах.

1. Определение. Вектор – это направленный отрезок, обозначение

а)  Сложение векторов.

Правило параллелограмма.

Правило треугольника.

б) Умножение вектора на число.

3. Угол между векторами.

4. Скалярное произведение векторов.

(1)

Скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.

Заметим, что– это проекция векторана направление вектора. Из определения следует, что скалярное произведение векторов – это число, характеризующее взаимное расположение векторов.

Анализ формулы скалярного произведения векторов

Рассмотрим некоторые частные случаи взаимного расположения векторов.

1.  Перпендикулярные векторы.

Если, то и.

Сила в направлениине совершает никакой работы, скалярное произведение

Обратно: если, то в силу равенства

Получаем следующий важный вывод: Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.

2. Коллинеарные векторы.

Рассмотрим коллинеарные векторы: они могут быть сонаправлены или противоположно направлены.

а) Сонаправленные векторы.

, поэтому

Таким образом,

б) Противоположно направленные векторы.

, поэтому

Таким образом,

3. Равные векторы. Рассмотрим случай, когда

Определение: Скалярное произведениеназывается скалярным квадратом вектора и обозначается , Свойство: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, 

Решение задач на вычисление скалярного произведения векторов

Следует научиться вычислять скалярное произведение векторов не только в частных, но и в общих случаях. Рассмотрим следующую задачу.

Задача. Вычислить скалярное произведение векторови, если , угол между ними равен:

а);
б);
в). 

а) Дано:

Найти:

Решение:

Ответ:

б)  Дано:

Найти:

Решение:или

Ответ: 0.

в) Дано:

Найти:Решение:

Ответ: 

Вычисление скалярного произведения векторов в геометрических задачах

Векторы часто присутствуют и в различных геометрических фигурах. Рассмотрим следующую задачу.

Задача. В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведена высота  BD. Вычислить скалярное произведение векторов:

а)
б)  
в)  
г)

Решение:

а)

Ответ:

б) Для определения угла между векторами отложим векторот точки C:

.

Ответ:

в)

Ответ: 0.

г)

Ответ: 

Вычисление скалярного произведения векторов в физической задаче

Задача. К одной и той же точке приложены две силыи , действующие под угломдруг к другу, причем. Найти величину равнодействующей силы.

Дано:

Найти:.

Решение:

Ответ:

Заключение

Итак, мы рассмотрели разные задачи на вычисление скалярного произведения векторов. На следующем уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов в координатах.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics.ru (Источник). 

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1041, 1042.