01. Треугольники: признаки равенства и подобия треугольников, их основные элементы и замечательные точки
13 мин
02. Прямоугольный треугольник
22 мин
03. Обобщённая теорема Пифагора
16 мин
04. Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде
24 мин
05. Прямоугольный треугольник. Вычислительные задачи
22 мин
06. Окружность
23 мин
07. Четыре замечательные точки треугольника
22 мин
08. Вписанные и описанные окружности
20 мин
09. Четырёхугольники. Параллелограмм
21 мин
10. Соотношения между сторонами и углами треугольника
23 мин
11. Дополнительные сведения о медиане треугольника
23 мин
12. Сравнение длин
24 мин
13. Точка внутри и вне окружности
26 мин
14. Площади четырёхугольников
18 мин
15. Метод координат
35 мин
16. Метод масс в геометрии
16 мин
17. Удвоение медианы
12 мин
10. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Видео доступно по абонементу
Соотношение между углами треугольника
Доказательство:
Проведем прямую, параллельно .
По свойству о двух параллельных прямых и секущей, накрестлежащие углы равны.
Сумма углов составляет развернутый угол .
Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.
Соотношение между сторонами и углами/сторонами треугольника
Соотношение между сторонами и углами треугольника.
Против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Следствие: против равных сторон лежат равные углы и наоборот.
Соотношение между сторонами треугольника.
Теорема синусов
=>
Доказательство:
Рассмотрим треугольник и опишем окружность вокруг него.
Проведем диаметр .
(вписанный угол, опирающийся на диаметр).
Пусть Тогда .
Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой
.
Рассмотрим треугольник . В нем найдем катет a:
Теорема косинусов
Замечание: если треугольник прямоугольный, теорема косинусов превращается в теорему Пифагора:
Пример
Даны стороны треугольника a,b и угол между ними. Найти: сторону c и углы
Решение:
По теореме косинусов для угла
Замечание: однозначно ли теперь мы знаем угол
? Ответ: да.
Например:
А если вдруг мы вычислили sin.
Список литературы
Домашнее задание
Л. Ф. Атанасян, Геометрия 7-9: №№ 1025-1038
"