Соотношения между сторонами и углами треугольника

Соотношение между углами треугольника

Доказательство:

Проведем прямую, параллельно .

По свойству о двух параллельных прямых и секущей, накрестлежащие углы равны.

Сумма углов  составляет развернутый угол .

Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

Соотношение между сторонами и углами/сторонами треугольника

Соотношение между сторонами и углами треугольника.

Против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Следствие: против равных сторон лежат равные углы и наоборот.

Соотношение между сторонами треугольника.

Теорема синусов 

=>

 Доказательство:

Рассмотрим треугольник и опишем окружность вокруг него.

Проведем диаметр .

(вписанный угол, опирающийся на диаметр).

Пусть Тогда .

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой
.

Рассмотрим треугольник . В нем найдем катет a:

Теорема косинусов

Замечание: если треугольник прямоугольный, теорема косинусов превращается в теорему Пифагора:

Пример

Даны стороны треугольника a,b и угол  между ними. Найти: сторону c и углы

Решение:

По теореме косинусов для угла

Замечание: однозначно ли теперь мы знаем угол

? Ответ: да.

Например:

А если вдруг мы вычислили sin.

Список литературы

Л. Ф. Атанасян, Геометрия 7-9 

Домашнее задание

Л. Ф. Атанасян, Геометрия 7-9: №№ 1025-1038