12. Сравнение длин

Обобщенная теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство теоремы прямым образом следует из подобия треугольников.

Задача 1. Применение метода параллельных прямых

В треугольнике на стороне взята точка :

На отрезке AM взята точка  Прямая пересекает сторону в точке

Найти:

Решение:

1) Найдем отношение

Изложим метод параллельных прямых:

1. Рассечем искомый отрезок параллельными прямыми;

Т.е. проведем из точки M прямую

2. Перенесем известное отношение с одной стороны угла на другую сторону угла.

Перед тем как записывать это действие, обозначим

По обобщенной теореме Фалеса:

2)     

Задача 2. Доказательство известного свойства медиан

В треугольнике медианы  и  пересекаются в точке . Доказать, что точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

Обозначим:

1.     Рассечем искомый отрезок параллельными прямыми. Дополнительное построение: прямая  параллельно .

2. Рассмотрим углы, которые рассекаются параллельными прямыми.

Угол :

Угол

Аналогично для всех других медиан.

Список литературы

Л.Ф. Атанасян, Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса, Уроки 32-33 

Домашнее задание

Л.Ф. Атанасян, Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса: №№ 190-192.