02. Свойства движения. Параллельный перенос

Введение

Докажем теорему: при движении отрезок переходит в отрезок.

Расшифруем формулировку теоремы с помощью Рис. 1. Если концы некоторого отрезка MN при движении отобразились в некоторые точки M₁ и N₁ соответственно, то любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р₁ отрезка M₁N₁, и наоборот, в каждую точку Q₁ отрезка M₁N₁ обязательно отобразится некоторая точка Q отрезка MN.

Доказательство.

Как видно из рисунка, MN = MР + РN.

Пусть точка Р переходит в некоторую точку Р₁' плоскости. Из определения движения следует равенство длин отрезков MN = M₁N₁, MР = M₁Р₁', РN = Р₁'N₁. Из этих равенств следует, что M₁Р₁', M₁Р₁'+ Р₁'N₁ = MР + РN = MN = M₁N₁, то есть, точка Р₁' принадлежит отрезку M₁N₁ и совпадает с точкой P₁, в противном случае вместо приведенного равенства было бы справедливо неравенство треугольника M₁Р₁'+ Р₁'N₁ > M₁N₁. То есть мы доказали, что при движении любая точка любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р₁ отрезка M₁N₁. Вторая часть теоремы (касательно точки Q1) доказывается абсолютно аналогично.

Доказанная теорема справедлива для любых движений!

Теорема: при движении угол переходит в равный ему угол.

Пусть дан ÐАОВ (Рис. 2). И пусть задано некоторое движение, при котором вершина ÐО переходит в точку О1, а точки А и В – соответственно в точки А₁ и В₁.

Рассмотрим треугольники АОВ и А₁О₁В₁. По условию теоремы, точки А, О и В переходят при движении в точки А₁, О₁ и В₁ соответственно. Следовательно, имеет место равенство длин АО = А₁О₁, ОВ = О₁В₁ и АВ = А₁В₁. Таким образом, АОВ = А₁О₁В₁ по трем сторонам. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих углов О и О₁.

Итак, любое движение сохраняет углы.

Из основных свойств движения вытекает масса следствий, в частности то, что любая фигура при движении отображается на равную ей фигуру

Рассмотрим еще один вид движения – параллельный перенос.

Параллельным переносом на некоторый заданный векторназывается такое отображение плоскости на саму себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М1 той же плоскости, чтобы (Рис. 3).

Докажем, что параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный отрезок MN (Рис. 4). Пусть при параллельном переносе точка М перешла в точку М₁, а точка N – в точку N₁. При этом выполнены условия параллельного переноса:и. Рассмотрим четырехугольник ММ₁N₁N. У него две противоположные стороны (MM₁ и NN₁) равны и параллельны, как это продиктовано условиями параллельного переноса. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом согласно одному из признаков последнего. Отсюда вытекает, что и другие две стороны (MN и M₁N₁) параллелограмма имеют равные длины, что и требовалось доказать.

Таким образом, параллельный перенос, действительно, является движением.

Подведем итоги. Мы знакомы уже с тремя видами движений: осевой симметрией, центральной симметрией и параллельным переносом. Мы доказали, что при движении отрезок переходит в отрезок, а угол – в равный ему угол. Кроме того, можно показать, что прямая при движении переходит в прямую и окружность переходит в окружность того же радиуса.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 114.