03. Теорема косинусов

На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему косинусов. Решим несколько задач с использованием данной теоремы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии».

Вспомним теорему Пифагора (рис. 1).

К данному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:

Но так как

,

то

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но оказывается, что аналогичная связь между стороной и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника, это покажет нам теорема косинусов. Она звучит так:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Чтобы записать формулой данную теорему, принимаем стандартные значения.

(рис. 2)

В доказательстве теоремы используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу.

В доказательстве теоремы косинусов – это сторона треугольника , обозначенная (рис. 4). Вводим удобную систему координат и находим координаты нужных нам точек. У точки координаты . А координаты точки –, при .

– основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Эта теорема справедлива для всех сторон треугольника (рис. 5), то есть:

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, то есть используется для произвольного треугольника.

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Аналогично:

Теперь найдём углы.

Вспомним, что косинус угла из промежутка  однозначно определяет угол (в отличие от синуса).

Поясним это. Дана единичная полуокружность (рис. 6). Если нам задан , то нам задана точка на верхней полуокружносте и задан угол . Следовательно,  однозначно определяет точку , и однозначно определяется угол .

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса , если – угол треугольника, то есть он лежит в пределах от до .

Предел изменения косинуса (рис. 7):

Предел изменения синуса (рис. 7):

Если , то

Если , то

Если , то

Теорема косинусов активно используется при решении задач, вот одна из них.

Дано: Треугольник . , , , , где – точка на гипотенузе  (рис. 8).

Найти:

Решение:

Так как , а , то , .

Из треугольника найдём :

Из треугольника по теореме косинусов найдём :

Дано: треугольник , со сторонами –, , (рис. 9).

Найти: остроугольный ли треугольник.

Решение:

В треугольнике наибольшая сторона . Напротив наибольшей стороны находится наибольший угол, то есть следует сначала оценить его. .

По теореме косинусов:

Косинус угла меньше , следовательно,  тупой, поэтому данный треугольник не остроугольный.

Дано: треугольник ,  (рис. 10)

Доказать: – тупой.

Доказательство:

Для доказательства достаточно написать теорему косинусов для угла :

Так как , то , следовательно, – тупой. Что и требовалось доказать.

Данная задача показывает, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый. Рисунки 10, 11 и 12 иллюстрируют это.

Если , то . (рис. 11)

Если , то  острый (рис. 12).

На данном уроке мы рассмотрели и доказали теорему косинусов и решили задачи с её применением.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Webmath.ru

2. Treugolniki.ru

Домашнее задание

1. В треугольнике  ,  и . Найти угол, противолежащий стороне .

2. Задан треугольник , длины сторон которого , , . Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.

3. В произвольном треугольнике биссектриса перпендикулярна медиане , причем . Найти стороны треугольника .