02. Теорема синусов

На этом уроке мы выведем теорему синусов с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии».

Сформулируем, проанализируем и докажем теорему синусов. Теорема звучит так:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Запишем данную теорему формулой в стандартных для треугольника обозначениях (рис. 1).

Формула для данной теоремы выглядит так (рис. 2):

Докажем данную теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

1. 

На сокращаем, синусы помещаем в знаменатели:

2. 

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема доказана.

Из теоремы синусов вытекает важное следствие.

,

где – радиус описанной около треугольника окружности (рис. 2).

Следовательно, мы получили три формулы радиуса описанной окружности:

Но, по существу, весь смысл следствия из теоремы синусов заключён в формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от угла , , . Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства рассмотрим три случая:

1. Угол – острый в треугольнике (рис. 3)

Проведём диаметр . В этом случае точка и точка  лежат в одной полуплоскости от прямой . Используем теорему о вписанном угле и видим, что . Треугольник прямоугольный, в нём угол  равен , так как он опирается на диаметр .

Для того чтобы найти катет в треугольнике , нужно гипотенузу ( – радиус окружности) умножить на синус противолежащего угла.

Следовательно

В первом случае теорема доказана.

2. Угол – тупой в треугольнике (рис. 4)

Проведём диаметр окружности . Точки и  по разные стороны от прямой . Четырёхугольник  вписан в окружность, и его свойство таково, что сумма противолежащих углов равна . Следовательно, .

Вспомним данное свойство вписанного в окружность четырёхугольника (рис. 4):

Также мы знаем, что .

В треугольнике  угол при вершине равен , потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет мы находим таким образом:

Следовательно

Во втором случае теорема доказана.

3. Угол  (рис. 5)

В прямоугольнике угол прямой, а противоположная сторона , где R – это радиус описанной окружности. Следовательно:

И в третьем случае теорема доказана.

Из теоремы синусов и следствия из неё мы видим, что радиус описанной окружности можно найти, зная только одну сторону треугольника и синус противолежащего угла. Но треугольник не задаётся только этими величинами. То есть получается, что треугольник ещё не задан, а мы уже можем найти радиус описанной окружности. Объясним этот факт, повторив теорему о вписанном в окружность угле и следствиях из неё.

Теорема о вписанном угле:

Вписанный в окружность угол измеряется половинной дуги, на которую он опирается.

опирается на дугу (рис. 6). Дуга содержит столько градусов, сколько градусов её центральный угол . То есть теорема утверждает:

Следствие 1 из теоремы звучит так:

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

опирается на дугу (рис. 7). Поэтому

Если мы возьмём точки , , , и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке 7 мы видим множество треугольников, у которых общая одна сторона () и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, их объединяет то, что радиус описанной окружности у них одинаковый.

Следствие 2 из теоремы о вписанном угле:

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые.                   

– диаметр описанной окружности, следовательно  (рис. 8).

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле:

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна .

В этом следствии утверждается, что

Угол опирается на дугу (рис. 9). Поэтому  (по теореме о вписанном угле). Угол  опирается на дугу . Поэтому . Но так как и – это вся окружность, то

Следовательно

Поэтому

Следствие 4 из теоремы звучит так:

Синусы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны.

(рис. 9)

Так как , то

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач.

Дано: В треугольнике : , , см (рис. 10)

Найти: 1. ; 2. – радиус описанной окружности

Решение.

1. Найдём .

В треугольнике нам известны два угла, поэтому находим третий, исходя из того, что сумма углов треугольника равна :

Для нахождения воспользуемся теоремой синусов:

см

2. Находим радиус описанной окружности.

Нам поможет следствие из теоремы синусов:

см

На данном уроке мы рассмотрели и  доказали теорему синусов и следствие из неё, а так же решили задачу по этой теме.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2.  Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Files.school-collection.edu.ru

2. Ru.solverbook.com

Домашнее задание

1. Основание треугольника равно см, один из углов при основании равен , а противолежащий основанию угол равен . Найдите сторону, противолежащую углу в .

2. В треугольнике , , . Найти .

3. 

В часов нарушитель свернул с основной магистрали и помчался по шоссе со скоростью км/ч. В часов инспектор ГАИ помчался по просёлку со скоростью км/ч наперерез нарушителю. Успеет ли инспектор остановить нарушителя у перекрёстка шоссе и просёлка?