Точка внутри и вне окружности

Точка на окружности

Угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, на которую он опирается и равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.

Точка внутри окружности. Теорема о произведении отрезков хорд.

Теорема: произведение отрезков хорд есть величина постоянная для данной точки внутри окружности. Или другим словами:

При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.

Доказательство:

Проведем отрезки , тем самым заключив отрезки в треугольники.

Пусть

Тогда дуга , на которую он опирается, равна

На эту дугу опирается в частности угол .

Кроме того, .

Точка внутри окружности. Теорема об угле между пересекающимися хордами.

Теорема:

Внутренний угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой высекаемых ими дуг:

Доказательство:

Проведем отрезок . Пусть

Вписанный угол опирается на дугу  

Вписанный угол  опирается на дугу  ,

Таким образом знаем углы треугольника .

По теореме о внешнем угле, ∠

Точка вне окружности: теорема о произведении секущей на ее внешнюю часть

Проведем 2 секущих и одну касательную.

Теорема: произведение секущей на ее внешнюю часть есть величина постоянная, равная квадрату касательное.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и .

– угол между касательной и хордой. Пусть .

Тогда дуга , которую он заключает, равна .

На эту дугу опирается вписанный угол , который равен .

Т.е.

– общий =>Треугольники подобны по 2м углам:

Докажем теперь, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и .

1. – Общий;

2. Четырехугольник – вписанный

Но

Список литературы

Л.Ф. Атанасян, Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса, Уроки 45-48

Домашнее задание

Л.Ф. Атанасян, Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса: №№ 243-248.