01. Треугольники: признаки равенства и подобия треугольников, их основные элементы и замечательные точки

Введение

Признаки равенства треугольников.

1 признак: если 2 стороны одного треугольника и угол между ними равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 признак: если сторона и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 признак: если 3 стороны одного треугольника соответственно равны 3м сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Свойство: Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов: медианы, радиусы вписанных и описанных окружностей и т.д.

Рассмотрим прямоугольный треугольник.

Для прямоугольных треугольников признак равенства звучит несколько иначе:

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.

Заметим, что угол 90 градусов одновременно является наибольшим углом в любом прямоугольном треугольнике.

На самом деле, признак равенства прямоугольных треугольников можно сформулировать для произвольного треугольника.

4 признак:

Если 2 стороны и больший угол одного треугольника равны соответственно 2м сторонам и большему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

 Доказательство:

 Рассмотрим 2треугольника,

Дано:                                            

-больший угол.

Доказать: .

Доказательство:

Доказательство осуществим точно так же, как доказывается равенство прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе, потому как мы находимся в тех же условиях: равны 2 стороны ибольшие углы.

Т.к., томожно наложить на так, что вершина A совместится с вершиной.

Т.к.то вершина В совместится в вершиной.

Но тогда вершины С итоже совместятся. Но как это строго доказать? Докажем от противного:

Предположим, что точка С совместится с некоторой другой точкойлуча

– равнобедренный, т.е.

 (свойство внешнего угла треугольника)

Получили противоречие, т.е. вершины С итоже совместятся.

Признаки подобия треугольников

1 признак. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

2 признак. Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

3 признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников:

- Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Теоремы синусов и косинусов

Теорема косинусов

Для плоского треугольника со сторонамии углом, противолежащим стороне , справедливо соотношение:

Заметим, что если треугольник прямоугольный, то, тогдаи теорема косинусов трансформируется в основное тригонометрическое тождество.

Теорема синусов

Для произвольного треугольника

, где  — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы, а — радиус окружности,описаннойвокруг треугольника.

Основные элементы треугольников

1. Высоты () треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

В случае, если треугольник тупоугольный, ортоцентр находится вне треугольника.

2. Биссектрисы () треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис – это центр вписанной окружности. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника.

3. Медианы () треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан – центр тяжести треугольника. Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

4. Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения серединных перпендикуляров – это центр описанной окружности.

Список литературы

1. Л.Ф. Атанасян, Геометрия 7-9 (Источник).

2. Б.Г. Зив, В.М.Мейлер, Геометрия. Дидактические материалы, 7 класс (Источник), 8 класс (Источник), 9 класс (Источник)

Домашнее задание

Л.Ф. Атанасян, Геометрия 7-9: №96 (стр. 30), №139 (стр.41), 560 (стр.140)