07. Уравнение окружности

Определение окружности

Начнем с определения, что такое окружность. Вот одно из неверных определений.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, от центра.

В чем ошибочность?

Давайте рассмотрим множество из четырех вершин квадрата. Все вершины квадрата равноудалены от одной точки, от центра квадрата. Но ведь это не окружность, а совсем небольшая часть окружности.

Дадим правильное определение окружности.

Окружностью называется множество ВСЕХ точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра. Ключевое слово здесь «всех», это важно, так как мы хотим вывести уравнение окружности.

Формула расстояния между двумя точками (напоминание)

В определении окружности фигурирует расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точкамии

или(рис. 1).

Опираясь на формулу и определение окружности, можно вывести уравнение окружности с центром в точкерадиуса(рис. 2).

Выбираем произвольную точкуна этой окружности.

Если точкапринадлежит окружности с центроми радиусом, то

Тогдаи координаты точкиудовлетворяют уравнению окружности

Если же точкане лежит на окружности, тои координаты точкине удовлетворяют уравнению окружности.

Таким образом, уравнение окружности с центром в точкерадиусаимеет вид:

.

Частный случай уравнения окружности с центром в точке:

Решение задач

Рассмотрим задачи на уравнение окружности.

Задача 1.

Начертить окружность, заданную уравнением, указать ее центр и радиус. Найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.

Решение:

Центр этой окружности, исходя из уравнения, точка, радиус(рис. 3).

Длина окружности и площадь круга вычисляются по формулам:

.

Общие точки с осью х:;с осью у: ;

Задача 2.

Дано уравнение окружности:

Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.

Решение:

Центр этой окружности точка, радиус (рис. 4).

Если известен радиус, то по формулам можно вычислить длину окружности и площадь круга:

Точки пересечения с осями:

С осью х: точка- это точка касания, ее координаты

Найдем точки пересечения с осью

Осьмеет уравнение, подставивв уравнение окружности, получим уравнение относительно:

Итак, точки пересечения с осью у:;.

Задача 3.

Дано уравнение окружности:.

Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.

Решение: центр этой окружности точка, радиус(рис. 5).

;.

Точки пересечения с осями:

С осью у: точка касания

С осью: осьимеет уравнение, подставляем в уравнение окружности:

Итак, точки пересечения с осью y:;

Задача 4.

Начертить окружность, заданную уравнением, указать ее центр, радиус. Найти точки пересечения с осями.

Решение:

Центр этой окружности точкарадиус(рис. 6).

Точки пересечения с осями:

С осью у: уравнение оси

подставляем в уравнение окружности:

и

Точки пересечения с осью у:;

С осью х: уравнение оси

 подставляем в уравнение окружности:

и

Точки пересечения с осью х:;(рис. 7).

Найти длину хорды

Решение (рис. 8):

Зная координаты точеки, по формуле расстояния между точками находим длину хорды:

Найти координаты точки– середины отрезка

Решение (рис. 9):

Координаты концов отрезкаизвестны, координаты середины отрезка определяем по формулам:

Найти площадь треугольника

Решение (рис. 10):

Треугольникравносторонний,

;

Задача 5.

Окружность задана уравнением

Не пользуясь чертежом, укажите какие из точекилежат:

а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;

б) на окружности;

в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

Решение:

Центр окружности – точка, радиус

Для того чтобы проверить, где расположена точка относительно окружности, будем вычислять расстояние от точки до центра окружности и сравнивать его с радиусом.

Точка:

т.лежит вне круга.

Точка:

т.лежит на окружности.

Точка:

т.лежит внутри круга.

Точка:

т.лежит вне круга.

Задача 6.

Составить уравнение окружности с диаметром, если

Решение: найдем координаты центра окружности, это координаты середины отрезка:

Найдем радиус, это половина диаметра:

– уравнение окружности.

Заключение

Итак, мы вывели уравнение окружности и использовали его для решения простейших задач. На следующем уроке мы продолжим изучать уравнение окружности и будем использовать его для решения более сложных задач.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 959, 960, 962.