09. Уравнение прямой

Выведение уравнения прямой

Для выведения уравнения прямой проведем эту прямую как серединный перпендикуляр к некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.

Все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.

Пусть – это произвольная точка на прямой p (см. Рис. 1), которая является серединным перпендикуляром к отрезку AB (точка A имеет координаты, точка B имеет координаты. Тогда, отсюда следует, что, то есть справедливо равенство:

- это равенство и есть уравнением прямой.

Возведем в квадрат выражения в скобках и приведем подобные слагаемые:

Введем новые обозначения:

Следовательно, уравнение прямой будет иметь следующий вид:

Уравнение вертикальной прямой

– уравнение вертикальной прямой

На рис. 2 изображены вертикальные прямые, уравнение которых выглядят следующим образом:

а). Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату.

б). Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату.

в). Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату, то есть это уравнение оси

Уравнение горизонтальной прямой

– уравнение горизонтальной прямой

На рис. 3 изображены горизонтальные прямые, уравнения которых выглядят следующим образом:

а). Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату.

б). Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату

в)Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату, то есть это уравнение оси

Уравнение наклонной прямой к оси ()

Введем новые обозначения:

Таким образом, уравнение наклонной к осипрямой выглядит следующим образом:

, где

– угловой коэффициент (если, то функция возрастает, если– убывает);

 – ордината точки пересечения прямой с осью

Примеры

1. Дано уравнение прямой:

В этом случае;Следовательно, данная функция возрастает, прямая пересекает осьв точке с координатами(см. Рис. 4). 

2. Дано уравнение прямой:

В этом случае;Следовательно, данная функция убывает, прямая пересекает осьв точке с координатами(см. Рис. 5). 

Условия параллельности и перпендикулярности наклонных прямых

Даны две прямые:

1. Данные прямые будут параллельными, если выполняются следующие условия:

То есть эти прямые должны быть наклонены под одним углом к оси, но проходить через разные точки на оси

2. Данные прямые будут перпендикулярными, если выполняется следующее условие:

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку

Дана точкас координатамиУравнение наклонной прямой:, следовательно, условие того, что точкалежит на прямой, – это

– уравнение любой наклонной прямой, проходящей через точку

Задавая коэффициент k, можно выбрать конкретную прямую, проходящую через точку.

Задача 1

Дано: прямая; точка

Найти: а) уравнение прямой, которая проходит через точкуи параллельна заданной прямой; б) уравнение прямой, которая проходит через точкуи перпендикулярна заданной прямой.

Решение

Все наклонные прямые, которые проходят через точку, имеют уравнение:

1. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Поэтому уравнение прямой, проходящей через точкуи параллельной заданной прямой, имеет угловой коэффициент. Следовательно, уравнение такой прямой имеет следующий вид:

2. Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно. Следовательно, угловой коэффициент прямой, перпендикулярной, равен:

Подставляем данный коэффициент в уравнение прямых, проходящих через точку:

Ответ: а); б) .

Задача 2

Дано: точка; точка

Найти: уравнение прямой AB и точки ее пересечения с осями координат.

Решение

Уравнение прямой имеет вид:

Необходимо определить числа a, b, c. Подставим координаты точек A и B в уравнение прямой, получим систему из двух уравнений:

Решим эту систему, выразив a и b через c:

Подставим это значение в равенство:

Найденные значения a и b подставляем в общее выражение прямой:

Приразделим это выражение наи умножим на:

Мы получили уравнение прямой, которая проходит через две данные точки (и). Запишем это уравнение в таком виде:

Это уравнение наклонной прямой, которая имеет угловой коэффициенти пересекает осьв точке с координатой(на рисунке 6 точка).

Определим координаты точки пересечения прямой с осью, для этого приравняем к нулю:

Следовательно, координаты точки пересечения прямой с осью–(на рисунке 6 точка).

Ответ:;;

Задача 3

Дано: точкаточка

Найти: уравнение серединного перпендикуляра к отрезку

Решение

Пусть(см. Рис. 7) – это произвольная точка на серединном перпендикуляре к отрезку. Тогда, отсюда следует, что, то есть справедливо равенство:

Подставим в данное равенство соответствующие координаты:

Разделим обе части уравнения на 4 и получим искомое уравнение серединного перпендикуляра:

Ответ:

Уравнение прямой в отрезках

Пусть – уравнение наклонной прямой, которая пересекает осиив точкахиТогда уравнение этой прямой можно представить в виде:

Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках. В данном случае отрезок, а отрезок

Выведем данное уравнение.

Дано: точка; точка;(прямая не пересекает начало координат) (см. Рис. 8).

Требуется: вывести уравнение прямой

Решение

Прямая– это наклонная прямая, следовательно, ее уравнение записывается в виде

Необходимо найти коэффициенти свободный член. Для этого подставляем координаты точеки, лежащих на прямой, в уравнение наклонной прямой:

Подставляем полученные значения в уравнение наклонной прямой:

Обе части уравнения умножаем на:

Обе части уравнения делим на произведение:

Мы получили уравнение прямой в отрезках:

Пример

Дано: точка; точка

Найти: уравнение прямой

Решение

Уравнение прямой в отрезках выглядит следующим образом:

В данном случае:;Подставляем эти значения в уравнение:

Ответ:

Задача типа С5 из ЕГЭ по математике

Найдите значение параметра a, при котором система неравенств имеет единственное решение.

Решение

1. Рассмотрим первое неравенство.

Неравенствозадает круг с центром в точкеи радиуса(см. Рис. 9).

Координаты точкизависят от параметра:

Радиустакже зависит от параметра:

Обе части этого неравенства неотрицательны, следовательно, его можно возвести в квадрат:

2. Рассмотрим второе неравенство.

Неравенствозадает полуплоскость под прямой, так как:

Эта полуплоскость фиксированна, не зависит от параметра

3. Необходимо расположить круг так, чтобы он находился над прямой и касался ее. Общая точка прямой и окружности находится из системы:

Подставим значениев первое уравнение:

Сделаем замену:

Тогда:

Нам требуется единственность решения данного уравнения, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю.

Так как, то:

Выполним проверку этих значений параметра.

а) Если, то координаты центра окружности равныПодставим координатув уравнение прямой и сравним получившееся значениесо второй координатой центра окружности:

Следовательно, точкалежит над прямой, и значениенам подходит.

б) Можно выполнить проверку другим способом.

Если, то координаты центра окружности равны

.

Подставим значенияив неравенство:

 – неверно, следовательно, точкатакже не лежит в полуплоскости, задаваемой неравенством

Таким образом, искомые значения параметра равны:,

Ответ:,

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Первый способ вывода

Ранее мы вывели общее уравнение прямой, проходящей через две точки:

Выведем уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки.

Дано: точкиина наклонной прямой(см. Рис. 10).

Требуется: вывести уравнение наклонной прямой.

Решение

Выберем произвольную точку, находящуюся на прямой. Векторколлинеарен вектору(см. Рис. 10), следовательно:

В координатном виде это выглядит следующим образом:

Векторное равенство дает систему из двух уравнений:

Это и есть уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, при

Ответ:

Если, то это вертикальная прямая.

Если, то это горизонтальная прямая.

Пример

Даны две точки,. Написать уравнение наклонной прямой, проходящей через эти точки.

Решение

Уравнение наклонной прямой, проходящей через две точки, в общем виде выглядит следующем образом:

Подставляем значение координат данных в условии точек в уравнение:

В итоге мы получили уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Второй способ вывода

Дано: точкиина наклонной прямой(см. Рис. 11).

Требуется: вывести уравнение наклонной прямой

Решение

Подставляем координаты первой точки в уравнение наклонной прямой: 

Получаем систему уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

Необходимо найти, для этого подставляем координаты двух точек в уравнение наклонной прямой:

Вычтем из первого уравнения второе:

Следовательно:

Ответ:, гдеи 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathprofi.ru (Источник)
2. Интернет-сайт YouTube (Источник)

Домашнее задание

1. Задачи 972, 977, 982 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия, 7-9.

2. Докажите, что прямые, заданные уравнениямии, параллельны.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки ,