08. Вписанные и описанные окружности

Определение: центр вписанной и описанной окружности

Теория вписанных окружностей базируется на свойстве биссектрисы угла, а именно на свойстве точек биссектрисы быть равноудаленными от сторон угла.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.

Теория описанных окружностей базируется на свойстве серединного перпендикуляра, а именно на свойстве точек серединного треугольника быть равноудаленными от концов отрезка.

Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Теорема о соотношении для отрезков диагоналей

Четырехугольник. Вписанная и описанная окружности

Рассмотрим окружность. Пусть она описана около четырехугольника.

Рассмотрим точку внутри окружности и проведем 2 хорды, пересекающиеся в точке .

Получили вписанный четырехугольник .

Теорема:

Доказательство:

 т.к.:

1. опирается на дугу ,  также опирается на дугу .

 По теореме о вписанном угле эти углы равны.

2. опирается на дугу также опирается на дугу

 По теореме о вписанном угле эти углы равны.

Т.к. треугольники подобны, можем выписать соотношение подобия для сходственных сторон (тех сторон, которые лежат против равных углов треугольников):

Или, что то же самое:

Признак описанной окружности вокруг четырехугольника

Теперь мы хотим понять, каков должен быть четырехугольник, чтобы около него можно было описать окружность.

Вспомним, что около треугольника можно всегда описать окружность, а вот с четырехугольником все сложнее: 4-я точка может лежать как внутри окружности, так и вне ее.

Признак описанной окружности вокруг четырехугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна

Доказательство необходимости:

Пусть . Он опирается на дугу

Противоположный ему угол  

 Он опирается на дугу

Но

Признак вписанной окружности в четырехугольник

Рассмотрим описанный четырехугольник.

Центр окружности лежит на пересечении биссектрис.

Из центра окружности можно опустить перпендикуляры на стороны, а затем отметить равные отрезки касательных:

Как можно заметить из рисунка, суммы противоположных сторон равны. Это и есть признак.

Признак вписанной в четырехугольник окружности:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны, т.е. .

Действительно,

Вписанная и описанная окружность в правильный n-угольник

Рассмотрим правильный n-угольник.

Дано: сторона правильного n-угольника .

 Найти: и .

В правильном n-угольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

 Опустим из точки перпендикуляр . Тогда:

Рассмотрим прямоугольный треугольник .

Подведение итогов

Список литературы

1.      Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 

Домашнее задание

Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: №№ 689-711.